高等代数第6章习题参考答案Word文档格式.docx
- 文档编号:13434129
- 上传时间:2022-10-10
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:221.94KB
高等代数第6章习题参考答案Word文档格式.docx
《高等代数第6章习题参考答案Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数第6章习题参考答案Word文档格式.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
L),M
L)
L)。
证x
M(NL),则xM且x
NL.在后
一情形,于
是x
M
N或x
ML.
所以x
N)(M
L),
由此得
M(N
反之,若
x(M
(ML),
则x
N或xM
L.
在前一情形,
x
M,x
N,因此
xN
L.故得xM
L),在后一情形
,因
而x
L,
UL,得
xM
L),故(M
L)M
L),
于是M
若xM
U(N
IL),则xM
,x
NIL。
在前一情形Xx
MUN,
且X
UL,因而x
UN)I(MUL)。
在后一情形,xN,xL,因而xMUN,且XMUL,即X(MUN)I(MUL)所以(MUN)I(MUL)MU(NUL)
故MU(NIL)=(MUN)I(MUL)
即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:
1)次数等于n(n1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;
2)设A是一个n×
n实数矩阵,A的实系数多项式f(A)的全体,对于矩阵的加法和数量乘法;
3)全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法;
4)平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法;
5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算:
(a1,b1)(ab(a1a2,b1b2a1a2)
k。
(a1,b1)=(ka1,kb1+(kk1)a12
6)平面上全体向量,对于通常的加法和如下定义的数量乘法:
koa0;
7)集合与加法同6),数量乘法定义为:
koaa;
8)全体正实数r,加法与数量乘法定义为:
abab,koaak;
解1)否。
因两个n次多项式相加不一定是n次多项式,例如
(xn5)(xn2)3。
2)令V={f(A)|f(x)为实数多项式,A是n×
n实矩阵}因为
f(x)+g(x)=h(x),kf(x)=d(x)
f(A)+g(A)=h(A),kf(A)=d(A)
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条,故v构成线性空间。
3)矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质,只需证明对称矩阵(上三角矩阵,反对称矩阵)对加法与数量乘法是否封闭即可。
下面仅对反对称矩阵证明:
当A,B为反对称矩阵,k为任意一实数时,有
(A+B)=A+B=-A-B=-(A+B),A+B仍是反对称矩阵。
(KA)KAK(A)(KA),所以kA是反对称矩阵。
故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4)否。
例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5)不难验证,对于加法,交换律,结合律满足,(0,0)是零元,任意(a,b)的负元是2
(-a,a-b)。
对于数乘:
即(kl)(a,b)k(a,b)l(a,b)。
k[(a1,b1)(a2,b2)]k(a1a2,b1b2a1a2)
(a1,b1)k(a2,b2)
6)否,因为10
所给集合不满足线性空间的定义。
8)显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的,满足
i)ababbaba;
ii)(ab)c
(ab)
c
abc
a
(bc)
a(bc);
iii)1是零元:
a1
a;
iv)a的负元是
1
:
1a
1,且
a1;
v)1aa1
vi)(ko(loa))
ko(al
)
lk
(al)k
lka
akl
(kl)oa;
vii)(kl)oa
kl
ka
al(k
a)
(la);
viii)ko(ab)
ko(
ab)
(ab)k
bk
(koa)(kob)
所以,所给集合R构成线性空间。
4在线性空间中,证明:
1)k002)k(
5证明:
在实函数空间中,1,cos2t,cos2t式线性相关的。
证因为cos2t2cos2t1,所以1,cos2t,cos2t式线性相关的。
6如果f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式,但其中任意两个都不互素,那么他们线性无关。
证若有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1(x)k2f2(x)k3f3(x)0,
不妨设k10,则f1(x)k2f2(x)kf3(x),这说明f2(x),f3(x)的公因式也是f1(x)
k1k1
的因式,即f1(x),f2(x),f3(x)有非常数的公因式,这与三者互素矛盾,所以
f1(x),f2(x),f3(x)线性无关。
2)设有线性关系
a2bc0abcd0a1b2c3d4,则
3bd0
abd1
可得在基1,2,3,4下的坐标为a1,b0,c1,d0。
8求下列线性空间的维数于一组基:
1)数域P上的空间Pnn;
2)Pnn中全体对称(反对称,上三角)矩阵作成的数域P上的空间;
3)第3题8)中的空间;
4)实数域上由矩阵A的全体实
13i
。
系数多项式组成的空间,其中A=0
解1)Pnn的基是Eij}(i,j1,2,...,n),且dim(Pnn)n2。
.........1...
2)i)
F11,..
令Fij
1
..,Fnn
.,即aijaji1,其余元素均为零,则
.,F1n,F22,..
.,F2n,.
是对称矩阵所成线性空间
Mn
的一组基,所以Mn是
n(n
1)维的。
2
...1.
ii)令
Gij
ij
...
,即aijaji1,(i
j),
其余元素均为零,则
G12,.
.,G1n,G23,
...,G2n
...,Gn1,n
是反对称矩阵所成线性空间
Sn的一组基,所以它是
n(n1)维的。
iii)E11,...,E1n,E22,...,E2n,...,Enn是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是
3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2,且对于任一正实数a,可经2线性
表出,即
.a(log2a)
2,所以此线性空间是
一维的,
且
2是它的一组基。
4)因为
31,所以n
1,n,n
3q
1,
n
E,n
于是A2
A31
E,而An
A,n
3q1。
A2,n
3q2
9.在P4中,求由基1,,
2,3,4,到基1,
坐标。
设
1,0,0,0
12,1,1,1
0,1,0,0,
20,3,1,0,
12
3
0,0,1,0
35,3,2,1
4
0,0,0,1
46,6,1,3
x1,x2,
x3,x4在1,
2,3,4下的坐标;
1,2,10
12,1,0,1
1,1,1,1,
20,1,2,2,
22
1,2,1,1
32,1,1,2
1,1,0,1
41,3,1,2
在1,2,3,
4,下的坐标;
1,1,1,1
11,1,0,1
1,1,1,1,
22,1,3,1
32
1,1,1,1
31,1,0,0
1,1,1,1
40,1,1,1
1,0,0,
1在1,2,
3,4下的坐标;
解1(
1,2,3,4)
=(1,2,3,4,
这里
A即为所求由基
23
4,到
1,2,3,4)=(
4)
x1
所以在基下的坐标为
4的过渡矩阵,并求向量在所指基下的
4的过渡矩阵,
=(
4)A
将上式两边右乘得
x2
3,4)
x3
1,2,3,4)
1x2,
x4
xx
11
2令e1(1,0,0,0),e2(0,1,0,0),e3
(0,0,1,0),e4
(0,0,0,1)则
=(e1,e2,e3,e4)
0=(e1,e2,e3,e4)A,
将(
e1,e2,e3,e4)=
=(e1,e2,e3,e4)0
=(e1,e2,e3,e4)B,
4)A1代入上式,得
1,2,3,4)=
1B,
6
5
13
11,A1B=
7
8
且AB即为所求由基1,2,3,4,到基1,2,3,4的过渡矩阵,进而有
1,0,0,0=(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等 代数 习题 参考答案