导数与不等式证明绝对精华说课材料Word文档下载推荐.docx
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二级排查:
知识积累
利用导数证明不等式,解题技巧总结如下:
(1)利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来),如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式.
(2)多用分析法思考.
(3)对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证明.例如采
用两边取对数(指数),移项通分等等.要注意变形的方向:
因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.
(4)常用方法还有隔离函数法,
,放缩法(常与数列和基本不等式一起考查),换元法,主元法,消元法,数学归纳法等等,但无论何种方法,问题的精髓还是构造辅助函数,将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.
(5)建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式,有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来.
三极排查:
易错易混
用导数证明数列时注意定义域.
【课堂探究】
一、作差(商)法
例1、证明下列不等式:
①
②
③
④
⑤
二、利用
证明不等式
例2、已知函数
(1)若函数
处取得极小值0,求
的值;
(2)在
(1)的条件下,求证:
对任意的
,总有
.
变式:
证明:
对一切
,都有
成立.
三、构造辅助函数或利用主元法
例3、已知
为正整数,且
求证:
设函数
,
(
).
(1)试判断
在定义域上的单调性;
(2)当
时,求证
四、分析法证明不等式
例4、设
,函数
.若曲线
在点
处的切线与
轴平行,
且在点
处的切线与直线
平行(
是坐标原点),证明:
已知函数
.
(Ⅰ)求函数
的单调区间;
(Ⅱ)证明:
,存在唯一的
,使
(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的
关于
的函数为
,证明:
当
时,有
五、隔离函数
例5、已知函数
(Ⅰ)设
是
的极值点,求
并讨论
的单调性;
(Ⅱ)当
时,证明:
其中
,且
(1)讨论
(2)设曲线
与
轴正半轴的交点为
,曲线在点
处的切线方程为
,求证:
对于任意的正实数
;
(3)若关于
的方程
有两个正实数根
六、与数列结合
例6、已知函数
(1)求函数
(2)求证:
(1)已知
【巩固训练】
1.已知函数
在区间
上,函数
的图像在函数
的图像的下方.
2.已知函数
(Ⅰ)求曲线
处的切线方程;
(Ⅱ)求证:
时,
(Ⅲ)设实数
使得
对
恒成立,求
的最大值.
3.已知
4.设函数
(1)判断
(2)证明:
为自然对数,
5.已知函数
的最小值;
(2)设不等式
的解集为P,且
,求实数a的取值范围;
(3)设
6.已知
(1)讨论
7.已知函数
(1)求函数
的最大值;
(2)设
证明:
8.设函数
,曲线
在点(1,
处的切线为
(Ⅰ)求
(Ⅱ)证明:
9.已知函数
为常数)的图像与
轴交于点
处的切线斜率为-1.
(Ⅰ)求
的值及函数
的极值;
(Ⅲ)证明:
对任意给定的正数
,总存在
,使得当
,恒有
10.(选作)已知
(1)证明:
;
(2)数列
满足
递减,且
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- 导数 不等式 证明 绝对 精华 材料
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