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b2,故B项错误;
0,得a(a-b)>
0,即a2>
ab,故-ab>
-a2,故C项错误;
0,得a-b<
0,故-
0,即-
成立,故选D.
解法二(特殊值法):
令a=-2,b=-1,则
=-
-1=
,ab=2>
1=b2,-ab=-2>
-4=-a2,-
1=-
.故A,B,C项错误,D正确,故选D.
[答案] D
2.已知a∈R,不等式
≥1的解集为p,且-2∉p,则a的取值范围为( )
A.(-3,+∞)B.(-3,2)
C.(-∞,2)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪[2,+∞)
[解析] ∵-2∉p,∴
1或-2+a=0,解得a≥2或a<
-3,故选D.
3.(2018·
大连一模)设函数f(x)=
则不等式f(x)>
f
(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3)
[解析] 由题意得,f
(1)=3,所以f(x)>
f
(1)=3,即f(x)>
3,
如果x<
0,则x+6>
3,可得-3<
x<
0;
如果x≥0,则x2-4x+6>
3,可得x>
3或0≤x<
1.
综上,不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞),
故选A.
[答案] A
4.(2018·
长春第二次质检)若关于x的不等式ax-b>
0的解集是(-∞,-2),则关于x的不等式
0的解集为( )
A.(-2,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪(1,2)
C.(-∞,-2)∪(0,1)D.(-∞,1)∪(2,+∞)
[解析] 关于x的不等式ax-b>
0的解集是(-∞,-2),∴a<
0,
=-2,∴b=-2a,∴
.∵a<
0,∴
0,解得x<
0或1<
2,故选B.
[答案] B
5.(2018·
河南平顶山一模)若对任意x>
≤a恒成立,则a的取值范围是( )
A.a≥
B.a>
C.a<
D.a≤
[解析] 因为对任意x>
≤a恒成立,
所以对x∈(0,+∞),a≥
max,
而对x∈(0,+∞),
≤
,
当且仅当x=
时等号成立,∴a≥
,故选A.
6.(2018·
江西师大附中摸底)若关于x,y的不等式组
表示的平面区域是等腰直角三角形区域,则其表示的区域面积为( )
A.
或
B.
C.1或
D.1或
[解析] 由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域,得k=0或1,当k=0时,表示区域的面积为
;
当k=1时,表示区域的面积为
7.(2018·
昆明质检)设变量x,y满足约束条件
则目标函数z=2x+5y的最小值为( )
A.-4B.6C.10D.17
[解析] 解法一(图解法):
已知约束条件
所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界),其中A(0,2),B(3,0),C(1,3).根据目标函数的几何意义,可知当直线y=-
x+
过点B(3,0)时,z取得最小值2×
3+5×
0=6,故选B.
解法二(界点定值法):
由题意知,约束条件
所表示的平面区域的顶点分别为A(0,2),B(3,0),C(1,3).将A,B,C三点的坐标分别代入z=2x+5y,得z=10,6,17,故z的最小值为6,故选B.
8.(2018·
合肥一模)在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<
0的解集中至多包含2个整数,则a的取值范围是( )
A.(-3,5)B.(-2,4)
C.[-3,5]D.[-2,4]
[解析] 关于x的不等式x2-(a+1)x+a<
0可化为(x-1)(x-a)<
0.当a=1时,不等式的解集为∅;
当a>
1时,不等式的解集为1<
a;
当a<
1时,不等式的解集为a<
1.要使得解集中至多包含2个整数,则a≤4且a≥-2,所以实数a的取值范围是[-2,4],故选D.
9.若实数x,y满足
则z=
的取值范围是( )
B.
C.[2,4]D.(2,4]
[解析] 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB)所示,其中A(1,2),B(0,2).
z=
,则z的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点M
所连直线的斜率.
可知kMA=
,kMB=
=4,结合图形可得
≤z<
4.
故z=
的取值范围是
,故选B.
10.(2018·
四川资阳诊断)已知a>
0,b>
0,且2a+b=ab,则a+2b的最小值为( )
A.5+2
B.8
C.5D.9
[解析] 解法一:
∵a>
0,且2a+b=ab,∴a=
0,解得b>
2.
则a+2b=
+2b=1+
+2(b-2)+4≥5+2
=9,当且仅当b=3,a=3时等号成立,其最小值为9,故选D.
解法二:
0,∴ab>
0.
∵2a+b=ab,∴
+
=1,
∴(a+2b)
=5+
≥5+2
=5+4=9.
当且仅当
时,等号成立,又2a+b=ab,即a=3,b=3时等号成立,其最小值为9,故选D.
11.(2018·
湖南湘东五校联考)已知实数x,y满足
且z=x+y的最大值为6,则(x+5)2+y2的最小值为( )
A.5B.3C.
D.
[解析] 如图,作出不等式组
对应的平面区域,如图阴影部分所示.
由z=x+y,得y=-x+z,平移直线y=-x,由图可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z在y轴上的截距最大,此时z最大,为6,即x+y=6.由
得A(3,3),
∵直线y=k过点A,∴k=3.
(x+5)2+y2的几何意义是可行域内的点(x,y)与D(-5,0)的距离的平方,由可行域可知,[(x+5)2+y2]min等于D(-5,0)到直线x+2y=0的距离的平方.
则(x+5)2+y2的最小值为
2=5,故选A.
12.(2018·
广东清远一中一模)若正数a,b满足:
=1,则
的最小值为( )
A.16B.9C.6D.1
[解析] ∵正数a,b满足
=1,∴a+b=ab,
=1-
0,∴b>
1,a>
1,则
≥2
=2
=6
,∴
的最小值为6,故选C.
[答案] C
二、填空题
[解析] 不等式
0等价于(x-2)(x-3)<
解得2<
故不等式
0的解集为(2,3),即M=(2,3).
由log
(x-2)≥1,可得
x≤
所以N=
.
故M∩N=
[答案]
14.(2018·
全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件
则z=x+y的最大值为________.
[解析] 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示).
当直线x+y-z=0经过点A(5,4)时,z=x+y取得最大值,最大值为9.
[答案] 9
15.(2018·
安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品,销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工,生产一件甲产品需用A设备2小时,B设备6小时;
生产一件乙产品需用A设备3小时,B设备1小时.A,B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时,若生产的产品都能及时售出,则该企业每月利润的最大值为________千元.
[解析] 设生产甲产品x件,生产乙产品y件,利润为z千元,则
z=2x+y,作出
表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线2x+y=0,平移该直线,当直线z=2x+y经过直线2x+3y=480与直线6x+y=960的交点(150,60)(满足x∈N,y∈N)时,z取得最大值,为360.
[答案] 360
16.(2018·
郑州高三检测)若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值是________.
[解析] 对于x2+3xy-1=0可得y=
,∴x+y=
(当且仅当x=
时,等号成立),故x+y的最小值是
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- 专题 跟踪 训练