因式分解二学生版Word格式文档下载.docx

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如果把

看

作常数，就是关于

中，把

看作一个整体，即

，就是关于

的二次三项式.同样，多项式

，把

看作一个整体，就是关于

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.

2.十字相乘法的依据和意义

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则.

如在多项式乘法中有：

反过来可得：

如果二次三项式

能把常数项

分解成两个因数

，

的积，并且

为一次

项系数

，那么它就可以运用公式

分解因式.

例如

中常数项是

，可以分解为

，而且2+1=3，恰好是一次项的系数，

所以

.

在对多项式

分解因式时，也可以借助于画十字交叉线来分解，

分解为

，常数项分解为

，把它们用交叉线来表示：

按十字交叉相乘，它们积的和是

一般地，

可以用十字交叉线表示为：

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

3.用十字相乘法分解的多项式的特征

（1）必须是一个二次三项式；

（2）二次项的系数为1时，常数项能分解成两个因数

的积，且这两个因数的和

正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的

可以表示单项式，也可以表示多项式；

（3）对于二次项系数不是1的二次三项式

（

都是整数且

）来说，如果存在四个整数

，使

，那么

它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.

例如，用十字相乘法分解因式

，因为

按十字交叉相乘，它们的积的和是

4.用十字相乘法因式分解时要注意的符号规律

为了减少尝试次数，掌握十字相乘法分解因式的符号规律，可以帮助大家更快的运用

十字相乘法分解因式，符号规律是：

当常数项是“+”号时，分解的两个一次二项式中间同号；

若一次项是“+”的，则两个

一次二项式中间都是“+”号；

若一次项是“-”的，则两个一次二项式中间都是“-”号.

当常数项是“-”号时，分解的两个一次二项式的因式中间异号；

若一次项是“+”的，则交叉相乘积正的绝对值大；

若一次项是“-”的，则交叉相乘积负的绝对值大.

当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项.

用十字相乘法分解因式，还要避免以下两种错误出现：

一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；

二是由十字相乘写出的因式漏写字母.

例1把下列各式分解因式：

（1）

（2）

例2把下列各式分解因式：

例3把下列各式分解因式：

（3）

（4）

知识点2分组分解法

1.分组分解法的意义

有的多项式各项没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组，利用分组可以进行多项式的局部分解，然后，综合起来，再从总体上用提取公因式法和十字相乘法继续进行分解，直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.

2.分组的原则

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法、公式法和十字相乘法的多项式.

分组分解法比较灵活，其关键在于分组要适当，它的分组原则是：

①分组后能直接提取公因式；

②分组后能直接运用公式.

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法.通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法（即提取公因式法或公式法）分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的.

我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行.通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧.

3.常用的分组方法

方法一：

分组后能提取公因式

（1）按字母分组.例如：

分解因式：

可以按某一字母为准分组，若按含有字母

的分为一组，含有字母

的分为一组，即

，这样就产生了公因式

（2）按系数分组.例如：

，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好相等，即

，则

（3）按次数分组.例如：

，此多项式有两个三次项，有两个二次项，有两个一次项，按次数分组为：

方法二：

分组后能运用公式

例如：

，可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为

.而

又是平方差形式的多项式，还可以继续分解.

方法三：

重新分组

分解因式

，此多项式必须先去括号，进行重新分组.

4.分组分解法分解因式的几点注意

（1）分组分解法主要应用于四项以上（包括四项）的多项式的因式分解.

（2）解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组.

（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解.

（4）对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项分组都可以达到目的，分组要注意合理性，四项式中的另一种三项、一项分组，这三项的一组中应使其成为完全平方公式，而剩下的一项必须能写成某个式子的平方，且又与完全平方的式子的符号相反，则得到

的形式，再用平方差公式分解.

（5）五项式一般采用三项、两项分组.

（6）六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组.

（7）原多项式中带有括号时一般采用不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解.

例1：

（1）

例2：

例3：

巩固练习

一．填空题

1.下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（）

A.

B.

C.

D.

2.下列各式的因式分解结果正确的是（）

3.二次三项式

分解因式的结果如下：

①

；

②

③

④

.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.用分组分解法将

分解因式，下列分组方式中不恰当的是（）

5.把多项式

分解因式的结果是（）

6.把多项式

二．填空题

1.

（）.2.

（）.

3.

=

（）.4.

5.

+=（+5）（+4）.6.

7.

）（

）.8.

9.

（）.10.

11.分解因式：

=.

（2）

.

三．简答题

1.用十字相乘法将下列各式分解因式：

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

（13）

（14）

（15）

（16）

（17）

2.用分组分解法将下列各式分解因式：

四．解答题

1.已知多项式

可分解为两个整系数的一次因式的积，求

的值.

2.把

是整数，试证明

能被6整除.

4.已知

，求

5.如果

、

6.把

进行因式分解.

家庭作业

一.填空题

2.

4.

6.

8.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

二．解答题

1.把下列各式因式分解：

（5）

2.已知

在整数范围内可以因式分解，求自然数m的值，并把它们分解因式.

3.已知

求

的值。

4.已知

5.如果一个三角形的边长为a、b、c都为整数，且

求三角形的周长.

6.观察下列算式：

………

（1）从中你能发现什么规律？

试用代数式表述这个规律.

（2）利用第

（1）题一系列反映规律的算式，能否写出求1+2+3+……+n（n为正整数）的公式.