相交线与平行线专题总结含答案教学课资Word文件下载.docx
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8.平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.
推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________.
9.平行线的判定:
⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:
_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:
___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:
________________________________________.
10.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______.
11.平行线的性质:
⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:
⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:
__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:
________________________________.
12.判断一件事情的语句,叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项,结论是______________________.命题常可以写成“如果……那么……”的形式,这时“如果”后接的部分是,“那么”后接的部分是_________.如果题设成立,那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时,不能保证结论一定成立,像这样的命题叫做___________.定理都是真命题.
13.把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫做平移变换,简称_______.图形平移的方向不一定是水平的.
14.平移的性质:
⑴把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的形状与大小完全______.⑵新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_________________.
二:
典型题型训练
15.如图,
那么点A到BC的距离是_____,点B到AC的距离是_______,点A、B两点的距离是_____,点C到AB的距离是________.
16.设
、b、c为平面上三条不同直线,若
,则a与c的位置关系是_________;
若
,
,则a与c的位置关系是________.
17.
如图,已知AB、CD、EF相交于点O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°
,求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数.
18.如图,
与
是邻补角,OD、OE分别是
的平分线,试判断OD与OE的位置关系,并说明理由.
19.如图,AB∥DE,试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系.
解:
∠B+∠E=∠BCE过点C作CF∥AB,
则
____()
又∵AB∥DE,AB∥CF,
∴____________()
∴∠E=∠____( )
∴∠B+∠E=∠1+∠2
即∠B+∠E=∠BCE.
20.⑴如图,已知∠1=∠2 求证:
a∥b.⑵直线
,求证:
.
21.阅读理解并在括号内填注理由:
如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,试说明EP∥FQ.
证明:
∵AB∥CD,
∴∠MEB=∠MFD( )
又∵∠1=∠2,
∴∠MEB-∠1=∠MFD-∠2,
即 ∠MEP=∠______
∴EP∥_____.( )
22.已知DB∥FG∥EC,A是FG上一点,∠ABD=60°
,∠ACE=36°
,AP平分∠BAC,求:
⑴∠BAC的大小;
⑵∠PAG的大小.
23.
如图,已知
于D,
为
上一点,
于F,
交CA于G.
求证
24.已知:
如图∠1=∠2,∠C=∠D,问∠A与∠F相等吗?
试说明理由.
三:
兴趣拓展
平行线问题:
平行线是我们日常生活中非常常见的图形.练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段.正因为平行线在生活中的广泛应用,因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识.正因为平行线在几何理论中的基础性,平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象.历史上关于平行公理的三种假设,产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何),它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用.现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何,它是建立在这样一个公理基础之上的:
“在平面中,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行”.在此基础上,我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理.下面我们举例说明这些知识的应用.
例1如图1-18,直线a∥b,直线AB交a与b于A,B,CA平分∠1,CB平分∠2,求证:
∠C=90°
例2如图1-21所示,AA1∥BA2求∠A1=∠B1+∠A2.
例3如图1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°
, 求∠C.
例4求证:
三角形内角之和等于180°
例5求证:
四边形内角和等于360°
例6如图1-29所示.直线l的同侧有三点A,B,C,且AB∥l,BC∥l.求证:
A,B,C三点在同一条直线上.
例7如图1-30所示.∠1=∠2,∠D=90°
,EF⊥CD.求证:
∠3=∠B.
四,课后思考题
1.如图1-31所示.已知AB∥CD,∠B=100°
,EF平分∠BEC,EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.
2.如图1-32所示.CD是∠ACB的平分线,∠ACB=40°
,∠B=70°
,DE∥BC.求∠EDC和∠BDC的度数.
3.如图1-33所示.AB∥CD,∠BAE=30°
,∠DCE=60°
,EF,EG三等分∠AEC.问:
EF与EG中有没有与AB平行的直线,为什么?
4.证明:
五边形内角和等于540°
5.如图1-34所示.已知CD平分∠ACB,且DE∥ACCD∥EF.求证:
EF平分∠DEB.
参考答案
一:
1.邻补角 2. 对顶角,对顶角相等 3.垂直 有且只有 垂线段最短 4.点到直线的距离 5.同位角 内错角 同旁内角 6.平行 相交 平行 7.平行 这两直线互相平行 8.同位角相等 两直线平行;
内错角相等 两直线平行;
同旁内角互补 两直线平行. 9.平行 10.两直线平行 同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补.11.命题 题设 结论 由已知事项推出的事项 题设 结论 真命题 假命题 12.平移 相同 平行且相等 13.6cm8cm10cm4.8cm. 14.平行 平行 垂直 15. 28°
118°
59°
16.OD⊥OE 理由略 17.1(两直线平行,内错角相等)DE∥CF(平行于同一直线的两条直线平行) 2 (两直线平行,内错角相等). 18.⑴∵∠1=∠2 ,又∵∠2=∠3(对顶角相等),∴∠1=∠3∴a∥b(同位角相等 两直线平行) ⑵∵a∥b∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等)又∵∠2=∠3(对顶角相等) ∴∠1=∠2. 19.两直线平行,同位角相等 MFQ FQ 同位角相等两直线平行 20. 96°
,12°
. 21.
22.∠A=∠F.∵∠1=∠DGF(对顶角相等)又∠1=∠2 ∴∠DGF=∠2 ∴DB∥EC(同位角相等,两直线平行) ∴∠DBA=∠C(两直线平行,同位角相等) 又∵∠C=∠D ∴∠DBA=∠D ∴DF∥AC(内错角相等,两直线平行)∴∠A=∠F(两直线平行,内错角相等).
三 例1如图1-18,直线a∥b,直线AB交a与b于A,B,CA平分∠1,CB平分∠2,求证:
分析由于a∥b,∠1,∠2是两个同侧内角,因此∠1+∠2=
过C点作直线l,使l∥a(或b)即可通过平行线的性质实现等角转移.
证过C点作直线l,使l∥a(图1-19).因为a∥b,所以b∥l,所以∠1+∠2=180°
(同侧内角互补). 因为AC平分∠1,BC平分∠2,所以
又∠3=∠CAE,∠4=∠CBF(内错角相等),所以∠3+∠4=∠CAE+∠CBF
说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立,即“两条直线a,b被直线AB所截(如图1-20所示),CA,CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线,若∠C=90°
,问直线a与直线b是否一定平行?
”
由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置),因此,不妨模仿原问题的解决方法来试解.
例2如图1-21所示,AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2.
分析本题对∠A1,∠A2,∠B1的大小并没有给出特定的数值,因此,答案显然与所给的三个角的大小无关.也就是说,不管∠A1,∠A2,∠B1的大小如何,答案应是确定的.我们从图形直观,有理由猜想答案大概是零,即∠A1+∠A2=∠B1.①
猜想,常常受到直观的启发,但猜想必须经过严格的证明.①式给我们一种启发,能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2.这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线,它将∠B1一分为二.
证过B1引B1E∥AA1,它将∠A1B1A2分成两个角:
∠1,∠2(如图1-22所示)因为AA1∥BA2,所以B1E∥BA2.从而∠1=∠A1,∠2=∠A2(内错角相等),所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2,即∠A1-∠B1+∠A2=0.
说明
(1)从证题的过程可以发现,问题的实质在于AA1∥BA2,它与连接A1,A2两点之间的折线段的数目无关,如图1-23所示.连接A1,A2之间的折线段增加到4条:
A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍然有
∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2.
(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即
∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.
进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠Bn-1
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