届高三数学文复习题模块五 解析几何 第16讲 圆锥曲线中的最值范围证明问题 Word版含答案Word下载.docx
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2.
命题角度 解决范围问题的常见方法
①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
②利用已知参数的范围求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
④利用基本不等式求出参数的取值范围;
⑤构造函数,利用函数的值域或零点存在定理确定目标变量的范围,在建立函数的过程中要根据题目的已知条件,把需要的量都用已选用的变量表示出来,同时要特别注意变量的取值范围.
3.[2018·
全国卷Ⅲ]已知斜率为k的直线l与椭圆C:
=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>
0).
(1)证明:
-
;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且
+
=0,证明:
2|
|=|
|+|
|.
命题角度 解析几何中的证明问题
解析几何证明题综合性较强,一般涉及位置关系、范围、定值、定点等,常用方法为:
①证明两直线平行或垂直的方法:
a.若两直线的斜率均存在且两直线不重合,则一定有l1∥l2⇔k1=k2;
b.若两直线的斜率均存在,则一定有l1⊥l2⇔k1·
k2=-1.
②解决直线与圆锥曲线位置关系的证明问题,其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立,消元、化简,得到一元二次方程,然后应用根与系数的关系建立方程(组),解决问题.
解答1最值问题
1已知抛物线C1:
y2=8x的焦点也是椭圆C2:
=1(a>
b>
0)的一个焦点,点P(0,2)在椭圆短轴CD上,且
·
=-1.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设Q为椭圆C2上的一个不在x轴上的动点,O为坐标原点,过椭圆的右焦点F2作OQ的平行线,交C2于M,N两点,求△QMN面积的最大值.
[听课笔记]
【考场点拨】
求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键:
(1)公式意识,把求三角形的面积转化为求距离、求角等;
(2)方程思想,即引入参数,寻找关于参数的方程;
(3)不等式意识,寻找关于参数的不等式,利用基本不等式等求最值.
【自我检测】
如图M5-16-1,已知△ABC的三个顶点都在椭圆Γ:
0,b>
0)上,且椭圆Γ的中心O和右焦点F分别在△ABC的边AB,AC上,当A点在椭圆的短轴端点时,
图M5-16-1
原点O到直线AC的距离为
a.
(1)求椭圆Γ的离心率;
(2)若△ABC面积的最大值为2
求椭圆Γ的方程.
解答2范围问题
2已知F1,F2分别是椭圆
+y2=1的左、右焦点.
(1)若P是第一象限内该椭圆上一点,且
=-
求P点坐标;
(2)设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同两点A,B,且∠AOB为锐角(O是坐标原点),求直线的斜率k的取值范围.
圆锥曲线的范围问题的常见解法:
(1)几何法:
若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;
(2)代数法:
若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等,则可利用这些关系去求参数的范围.
已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点且与此抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,|AB|<
8,直线l与抛物线y=x2-4交于M,N两点,且M,N两点在y轴的两侧.
y1y2为定值;
(2)求直线l的斜率的取值范围.
解答3证明问题
3已知圆G:
x2+y2-x=0经过抛物线y2=2px(p>
0)的焦点,直线l交抛物线于A,B两点且与x轴交于点M(m,0)(m>
(1)求抛物线的方程;
(2)若点M(m,0)(m>
0)关于原点的对称点为N,求证:
∠ANO=∠BNO.
圆锥曲线的证明问题,常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等,一般是以直线与圆锥曲线为载体,综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.
已知椭圆G:
=1的左焦点为F,左顶点为A,离心率为e,点M(t,0)(t<
-2)满足条件
=e.
(1)求实数t的值;
(2)设过点F的直线l与椭圆G交于P,Q两点,记△MPF和△MQF的面积分别为S1,S2,证明:
=
.
典型真题研析
1.解:
由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;
圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.
设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为
的椭圆(左顶点除外),其方程为
=1(x≠-2).
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°
则l与y轴重合,可得|AB|=2
若l的倾斜角不为90°
由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,
则
=
可求得Q(-4,0),所以可设l:
y=k(x+4).
由l与圆M相切得
=1,解得k=±
当k=
时,将y=
x+
代入
=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=
所以|AB|=
|x2-x1|=
当k=-
时,由图形的对称性得|AB|=
综上,|AB|=2
或|AB|=
2.解:
(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>
0.
由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为
又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.
将x=y-2代入
=1,得7y2-12y=0.
解得y=0或y=
所以y1=
因此△AMN的面积S△AMN=2×
×
(2)证明:
将直线AM的方程y=k(x+2)(k>
0)代入
=1,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.
由x1·
(-2)=
得x1=
故|AM|=|x1+2|
由题设,直线AN的方程为y=-
(x+2).
故同理可得|AN|=
由2|AM|=|AN|得
即4k3-6k2+3k-8=0.
设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点.f'
(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)上单调递增.又f(
)=15
-26<
0,f
(2)=6>
0,因此f(t)在(0,+∞)上有唯一的零点,且零点k在(
2)内,所以
<
3.证明:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则
=1,
=1.
两式相减,并由
=k得
k=0.
由题设知
=m,于是k=-
.
由题设得0<
m<
故k<
(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).
由
(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<
又点P在C上,所以m=
从而P
|
|=
于是|
|=
=2-
同理|
|=2-
所以|
|=4-
(x1+x2)=3.
故2|
考点考法探究
解答1
例1 解:
(1)由C1:
y2=8x,知焦点坐标为(2,0),所以a2-b2=4.①
由已知得,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b),
又
=-1,所以4-b2=-1.②
由①②得b2=5,a2=9,
所以椭圆C2的方程为
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my+2.
由
可得(5m2+9)y2+20my-25=0,
则y1+y2=
y1y2=-
所以|MN|=
点Q到直线MN的距离等于点O到直线MN的距离,设该距离为h,则h=
所以△QMN的面积S=
|MN|·
h=
令
=t(t≥1),则m2=t2-1,S=
.令f(t)=5t+
(t≥1),
所以f(t)=5t+
在[1,+∞)上单调递增,
所以当t=1时,f(t)取得最小值,最小值为9.
所以△QMN的面积的最大值为
解:
(1)当点A在椭圆的短轴端点时,根据椭圆的对称性,不妨设A(0,b),F(c,0),
∵直线AC的方程为
=1,即bx+cy-bc=0,∴原点O到直线AC的距离d=
a,
即a2=2bc,∴a2=2c
两边平方得a4=4c2(a2-c2),化简得1=4e2(1-e2),
∴e=
即椭圆Γ的离心率为
(2)连接OC.∵
∴a=
c,b=
=c,
∴椭圆Γ:
=1.设直线AC的方程为x=ty+c,A(x1,y1),C(x2,y2).
得(ty+c)2+2y2=2c2,
即(t2+2)y2+2cty-c2=0,
∴y1+y2=-
S△ABC=2S△O
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