考点44曲线与方程圆锥曲线的综合应用文档格式.docx
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D.
【解题指南】本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p的值.
【解析】选D.经过第一象限的双曲线的渐近线为
.抛物线的焦点为
双曲线的右焦点为
.
,所以在
处的切线斜率为
,即
,所以
,即三点
,
共线,所以
二、填空题
3.(2013·
江西高考理科·
T14)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线
相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=___________.
【解题指南】A、B、F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知△ABF的高为P,可构造p的方程解决.
【解析】由题意知△ABF的高为P,将
代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为
,因为△ABF为等边三角形,所以
,从而解得
【答案】6.
4.(2013·
安徽高考理科·
T13)已知直线
交抛物线
于
两点。
若该抛物线上存在点,使得
为直角,则的取值范围为___________
【解题指南】点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为
的圆,数形结合可得。
【解析】联立直线
与抛物线
得
,满足题设条件的点C的轨迹是以
为圆心,
为半径的圆,其方程为
。
由数形结合可知当
时满足题设要求,解得
【答案】
三、解答题
5.(2013·
北京高考理科·
T19)已知A、B、C是椭圆W:
上的三个点,O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积.
(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
【解题指南】
(1)利用OB的垂直平分线求出AC的长,再求面积;
(2)若是菱形,则OA=OC,A点与C点的横坐标相等或互为相反数。
【解析】
(1)线段OB的垂直平分线为
或
,所以菱形面积为
|OB|·
|AC|=
×
2×
=.
(2)四边形OABC不可能是菱形,只需要证明若OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数.
设OA=OC=r(r>
1),则A、C为圆
与椭圆
的交点.
所以A点与C点的横坐标互为相反数或相等,
此时B点为顶点.因此四边形OABC不可能是菱形.
6.(2013·
江西高考文科·
T20)椭圆C:
(a>
b>
0)的离心率
,a+b=3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明:
2m-k为定值.
(1)借助椭圆中
的关系及两个已知条件即可求解;
(2)可以写出BP的直线方程,分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P、M的坐标,再利用DP与x轴表示点N的坐标,最终把m表示成k的形式,就可求出定值;
另外也可设点P的坐标,把k与m都用点P的坐标来表示.
(1)因为
,又由
,代入a+b=3,得
.故椭圆C的方程为
(2)方法一:
因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为
将
代入
,解得P
直线AD的方程为:
.
联立
解得M
由D(0,1),P
,N(x,0)三点共线可知
,所以点
所以MN的斜率为m
则
(定值).
方法二:
设
,则
,直线AD的方程为
直线BP的方程为
,直线DP的方程为
令y=0,由于
,可得
解
可得M
所以MN的斜率为
=
故
7.(2013·
广东高考文科·
T20)已知抛物线的顶点为原点,其焦点
(
)到直线:
的距离为
.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线的方程;
(2)当点
为直线上的定点时,求直线
的方程;
(3)当点在直线上移动时,求
的最小值.
【解题指南】本题以抛物线的切线为载体,考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中,抛物线的性质需要熟练运用.
(1)因为
到直线:
(注意
),可得抛物线的方程为
;
(2)设切点
对
(即
)求导可得
,切线的斜率为
,将
和
代入整理可得
,同理切线的斜率为
,由
可得点
都适合方程
,也就是当点
为直线上的定点时,直线
的方程即为
(3)由抛物线的性质可知
到焦点
的距离等于到准线
的距离,所以
联立方程
消去整理得
,由一元二次方程根与系数的关系可得
又
,所以当
时,
取得最小值,且最小值为
8.(2013·
广东高考理科·
9.(2013·
重庆高考理科·
T21)如图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率
,过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点,
.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若
⊥
,求圆的标准方程.
【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出点的坐标,利用椭圆上的其余点均在圆外且
求出圆的方程.
(Ⅰ)设椭圆方程为
+
=1(a>
0),由题意知点
在椭圆上,则
从而
由
,得
故该椭圆的标准方程为
(Ⅱ)由椭圆的对称性,可设
又设
是椭圆上任意一点,则
由题意,是椭圆上到的距离最小的点,因此,上式当
时取最小值,又因为
所以上式当
时取最小值,从而
且
因为
,且
所以
即
.由椭圆方程及
解得
.从而
故这样的圆有两个,其标准方程分别为
10.(2013·
重庆高考文科·
(Ⅱ)取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、,过、作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.求
的面积的最大值,并写出对应的圆的标准方程.
【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程,设出点的坐标,利用椭圆上的其余点均在圆外可求
的面积的最大值以及圆的方程.
(Ⅰ)由题意知点
由对称性知
所以
当
时,
的面积取到最大值
此时对应的圆的圆心坐标为
半径
因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为
11.(2013·
新课标Ⅰ高考文科·
T21)与(2013·
新课标Ⅰ高考理科·
T20)相同
已知圆:
圆:
动圆与外切并且与圆内切,圆心的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线,与曲线交于A,B两点,当圆的半径最长时,求
(Ⅰ)根据圆的位置关系与半径的关系并结合圆锥曲线的定义确定曲线C的方程.
(Ⅱ)结合图象,确定当圆的半径最长时的情形,并对的值进行分类求解.
【解析】由已知得圆的圆心为
,半径
圆圆心为
.设圆的圆心为
半径为
(Ⅰ)动圆与外切并且与圆内切。
由椭圆定义可知,曲线是以,为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为
(Ⅱ)对于曲线上任意一点
由于
,当且仅当圆的圆心为
时,
,所以当圆的半径最长时,其方程为
若的倾斜角为,则与轴重合,可得
若的倾斜角不为,由
,知不平行于轴,设与轴的交点为,
,可求得
,所以可设:
,由与圆相切得
,解得
时,将
,并整理得
时,由图形的对称性可知
综上,
12.(2013·
T20)如图,椭圆
经过点P(
),离心率
,直线l的方程为x=4.
(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:
是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3?
若存在,求λ的值;
若不存在,说明理由
(1)注意到点P在椭圆上,
与
可求出椭圆中的a,b,进而可写出椭圆的方程;
(2)设出直线AB的方程,联立直线与椭圆方程,结合A、F、B三点共线可得k1+k2与k3的关系,进而可求λ的值
(1)由
在椭圆上得,
依题设知a=2c,则a2=4c2,
,
故椭圆C的方程为
由题意可设AB的斜率为k,则直线AB的方程为
代入椭圆方程并整理得
,则有
在方程
中令x=4得M(4,3k).
注意到A、F、B三点共线,则有
即
故存在常数
符合题意.
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- 考点 44 曲线 方程 圆锥曲线 综合 应用