高中数学数列知识点总结精华版汇编Word文件下载.docx
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,均有
②递减数列:
③摆动数列:
例如:
④常数数列:
6,6,6,6,…….
⑤有界数列:
存在正数
使
⑥无界数列:
对于任何正数
总有项
使得
1、已知
,则在数列
的最大项为__(答:
);
2、数列
的通项为
均为正数,则
与
的大小关系为___(答:
3、已知数列
,且
是递增数列,求实数
的取值范围(答:
4、一给定函数
的图象在下列图中,并且对任意
,由关系式
得到的数列
满足
,则该函数的图象是()(答:
A)
二、等差数列
1、等差数列的定义:
从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。
即
.(或
).
2、
(1)等差数列的判断方法:
①定义法:
为等差数列。
②中项法:
③通项公式法:
(a,b为常数)
④前n项和公式法:
(A,B为常数)
如设
是等差数列,求证:
以bn=
为通项公式的数列
(2)等差数列的通项:
。
公式变形为:
.其中a=d,b=
-d.
如1、等差数列
,
,则通项
(答:
2、首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答:
)
(3)等差数列的前
和:
公式变形为:
,其中A=
,B=
.注意:
已知n,d,
中的三者可以求另两者,即所谓的“知三求二”。
如数列
,前n项和
,则
=_,
=_(答:
(2)已知数列
的前n项和
,求数列
的前
项和
(答:
(4)等差中项:
若
成等差数列,则A叫做
的等差中项,且
提醒:
(1)等差数列的通项公式及前
和公式中,涉及到5个元素:
、
及
称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,
…(公差为
偶数个数成等差,可设为…,
…(公差为2
3.等差数列的性质:
(1)当公差
时,等差数列的通项公式
是关于
的一次函数,且斜率为公差
前
和
的二次函数且常数项为0.等差数列{a
}中,
是n的一次函数,且点(n,
)均在直线y=
x+(a
-
)上
(2)若公差
,则为递增等差数列,若公差
,则为递减等差数列,若公差
,则为常数列。
(3)对称性:
是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当
时,则有
,特别地,当
时,则有
=____(答:
27);
2、在等差数列
是其前
项和,则A、
都小于0,
都大于0 B、
都大于0 C、
都大于0 D、
都大于0 (答:
B)
(4)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即
成等差.若
是等差数列,则
(
是非零常数)、
(公差为
).,…也成等差数列,而
成等比数列;
是等比数列,且
是等差数列.
如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。
225)
(5)在等差数列
中,当项数为偶数
时,
项数为奇数
;
如1、在等差数列中,S11=22,则
=______(答:
2);
2、项数为奇数的等差数列
中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数(答:
5;
31).
(6)单调性:
设d为等差数列
的公差,则
d>
是递增数列;
d<
是递减数列;
d=0
是常数数列
(7)若等差数列
和分别为
如设{
}与{
}是两个等差数列,它们的前
项和分别为
,若
,那么
___________(答:
(8)设a
,a
为等差数列中的三项,且a
与a
的项距差之比
=
≠-1),则a
.
(9)在等差数列{a
}中,S
=a,S
=b(n>m),则S
(a-b).
8、已知
成等差数列,求
的最值问题:
1若
d<
0且满足
则
最大;
②若
d>
最小.
“首正”的递减等差数列中,前
项和的最大值是所有非负项之和;
“首负”的递增等差数列中,前
项和的最小值是所有非正项之和。
法一:
由不等式组
确定出前多少项为非负(或非正);
法二:
因等差数列前
项是关于
的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性
上述两种方法是运用了哪种数学思想?
(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?
,问此数列前多少项和最大?
并求此最大值。
前13项和最大,最大值为169);
2、若
是等差数列,首项
,则使前n项和
成立的最大正整数n是(答:
4006)
(10)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意:
公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究
三、等比数列
1、等比数列的有关概念:
从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比。
(或
2、等比数列的判断方法:
定义法
如1、一个等比数列{
}共有
项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则
为____(答:
=4
+1(
)且
=1,若
,求证:
数列{
}是等比数列。
3、等比数列的通项:
如设等比数列
,前
=126,求
和公比
.(答:
或2)
4、等比数列的前
当
时,
如等比数列中,
=2,S99=77,求
44)
等比数列前
项和公式有两种形式,为此在求等比数列前
项和时,首先要判断公比
是否为1,再由
的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比
是否为1时,要对
分
两种情形讨论求解。
5、等比中项:
如果a、G、b三个数成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G=
.提醒:
不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个
如已知两个正数
的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为______(答:
A>B)
(1)等比数列的通项公式及前
项和公式中,涉及到5个元素:
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2;
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为…,
…(公比为
但偶数个数成等比时,不能设为…
,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为
如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。
15,,9,3,1或0,4,8,16)
6、等比数列的性质:
(1)对称性:
是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当
.如1、在等比数列
,公比q是整数,则
=___(答:
512);
2、各项均为正数的等比数列
中,若
(答:
10)。
(2)若{a
}是公比为q的等比数列,则{|a
|}、{a
}、{ka
}、{
}也是等比数列,其公比分别为|q|}、{q
}、{q}、{
}。
成等比数列,则
若
是等比数列,且公比
,则数列
,…也是等比数列。
为偶数时,数列
,…是常数数列0,它不是等比数列.若
是等比数列,且各项均为正数,则
成等差数列。
若项数为3n的等比数列(q≠-1)前n项和与前n项积分别为S
与T
,次n项和与次n项积分别为S
,最后n项和与n项积分别为S
,则S
,S
成等比数列,T
,T
亦成等比数列
如1、已知
且
,设数列
.(答:
2、在等比数列
为其前n项和,若
的值为______(答:
40)
(3)单调性:
,或
则
为递增数列;
或
为递减数列;
为摆动数列;
为常数列.
4、“体验化”消费(4)当
,这里
,但
,这是等比数列前
项和公式的一个特征,据此很容易根据
,判断数列
是否为等比数列。
如若
=(答:
-1)
人民广场地铁站有一家名为“漂亮女生”的饰品店,小店新开,10平方米不到的店堂里挤满了穿着时尚的女孩子。
不几日,在北京东路、淮海东路也发现了“漂亮女生”的踪影,生意也十分火爆。
现在上海卖饰品的小店不计其数,大家都在叫生意难做,而“漂亮女生”却用自己独特的经营方式和魅力吸引了大批的女生。
(5)
.如设等比数列
的公比为
项和为
成等差数列,则
的值为_____(答:
-2)
四、影响的宏观环境分析(6)在等比数列
项数为奇数
(7)如果数列
既成等差数列又成等比数列,那么数列
是非零常数数列,故常数数列
仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
如设数列
),关于数列
有下列三个命题:
①若
既是等差数列又是等比数列;
是等差数列;
③若
是等比数列。
这些命题中,真命题的序号是(答:
②
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