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论文题目:
分离变量法在微分方程中的应用
作者单位:
周口师范学院数学与统计学院
作者签名:
2014年5月23日
目录
摘要1
引言1
1预备知识....3
1.1
问题.3
1.2分离变量法的定义3
1.3分离变量法的一般理论.4
2分离变量法的具体步骤.4
2.1分离变量4
2.2解特征值问题.5
2.3特解的
的叠加6
2.4系数
的确定.................................................................................................6
3不同边界条件下
的特征值和特征函数....................................7
4分离变量法在微分方程中的应用.........................................................................7
5结束语....12
参考文献13
致谢14
摘要:
本文运用分离变量法来求解微分方程中的问题时,要求边界条件是齐次的,如果边界条件是非齐次的,则需要寻找合适的辅助函数
进行一系列的变换使得边界条件齐次化,本文讨论的是一个一般微分方程的定解问题的求解,给出辅助函数
的形式,从而达到解决边界条件的齐次化问题,在这个基础上,经过变量分离法求得齐次微分方程在齐次边界条件之下的解.
关键词:
分离变量法;
问题;
特征函数;
特征值
Applicationofseparationofvariablesintheequations
Abstract:
Whenweusethemethodofseparationofvariablesintheequationstosolvetheproblem,requiringtheboundaryconditionsarehomogeneous,ifanon-homogeneousboundaryconditions,youneedtofindasuitablehelper
makingaseriesoftransformationoftheboundaryconditionshomogeneous,thisarticlediscussesadefinitesolutiontosolvetheproblemofageneraldifferentialequationisgivenintheformofanauxiliaryfunction,soastoachievehomogeneousboundaryconditionstosolvetheproblem,onthisbasis,throughthevariableseparationmethodtoobtainhomogeneousdifferentialequationinhomogeneoussolutionundertheboundaryconditions.
Keywords:
separationofvariables;
problems;
characteristicfunction;
Eigenvalues
引言
在偏微分方程中,求解混合问题的一个最普遍的基本方法之一就是变量分离法,即
。
分离变量法不仅仅可用在波动方程中,也可以用在热传导方程、调和方程,和一些形式更加复杂的方程和方程组。
分离变量法其实质即使
将所给问题化成由常微分方程和边界条件组成的特征值问题。
若定解问题中是非齐次边界条件,一般情况下构不成特征值问题。
所以,求解非齐次混合问题时需要先使非齐次项齐次化,然后再运用分离变量法进行混合问题的求解.
很多文献都对
在微分方程中的应用这个部分做了概述,文献[2]主要介绍了施图姆-刘维尔(
)问题,文献[4][5]分别介绍了变量分离法的定义和一般理论,文献[8][9]介绍了分离变量法的具体步骤,文献[10]-[13]给出了分离变量法在微分方程中的应用,还有其他的一些结论.从本文可以总结出,分离变量法的特点是经过变量的分离,把微分方程的解分成几个分别只含一个变量的函数的乘积的形式,然后将所得的特解做适当线性组合,就可以得到微分方程的解.
本文先通过介绍Sturm-liouville问题,自然地引出分离变量法,介绍了分离变量法的定义、一般理论和具体实施步骤,有队不同边界下经常求的方程
的特征值和特征呢过函数进行归纳,直接利用结论可使计算简化,最后用不同的实例展示出分离变量法的具体运用.
1预备知识
1.1
问题
对于问题
假设:
(1)
和
在
上连续,
;
(2)
上连续并且
0或
内连续,在区间的
端点有一阶奇性;
(3)则
上连续且
存在无穷多特征值
当
0时,
对应的这些特征值有无穷多个特征函数
设
是特征值
对应的特征函数,那么所有的
构成一个正交函数系
(4)若函数
上有一阶连续的导函数及分段连续的二阶导数且满足所给的边界条件,则
内按特征函数展开为绝对且一致收敛的级数
其中
1.2变量分离法的定义
使用具有变量分离的形式的特解进行构造初边值的问题解的方法被称作分离变量法。
1.3分离变量法的一般理论
在这里讨论波动方程的问题
首先使用边界条件齐次化方法化,将非齐次条件齐次化:
然后,因为方程及条件均是线性的,所以由解的叠加性原和方程齐次化原理,可将上述的波动方程问题转化成下面的混合问题(1.1)
(1.1)
因此只需要讨论的是问题(1.1)的求解。
下面运用分离变量法求解问题(1.1)
2分离变量法的具体步骤
下面来详细的介绍一下用变量分离法求解定解问题的主要步骤:
2.1变量分离
设问题(1.1)存在非零变量分离解
.(4)
将(4)式代入到方程
(1)可得到
即
(1.5)
由于在(5)式中,左边仅是关于
的函数,右边仅是关于
的函数,左右两边要相等,只有同为一个函数的情况下才可能,记作
,于是可得到关于
的微分方程
(1.6)
(1.7)
由式(1.1)中的边界条件,得
,
因为
,所以
.(1.8)
2.2解特征值问题
这里求解由(7)式和(8)式组成的常微分方程的边值问题,即求解
(1.9)
是待定常数.该问题被称为特征值(或固有值或本征值)问题.使该问题有非零解的
值,称作特征值(或固有值或本征值),而和
值相应非零的解称作特征函数(或固有函数或本征函数).
下面求解问题(1.9)的非零解.分三种情况加以讨论.
(1)当
这时方程(1.9)的通解是
是任意常数.由(1.9)中边界条件,得
由此解得
所以在
<
0时,
不符合非零解要求,因此
不可以小于零.
(2)当
时,方程(1.9)的通解是
由于边界条件(1.8)得
同样这不是所要求的解.
(3)
时,方程(1.9)的通解为
由于边界条件
,得
又有
.
为求得非零解,故设
所以
.因此所求特征值为
(1.10)
对应的特征函数是
,
(1.11)
将特征值
代入式(1.6),得
(1.12)
其通解为
(1.13)
于是就求得原定解问题(1.1)中方程及齐次边界条件的变量分离形式的特解为
(1.14)
为任意常数,
2.3特解
的叠加
为求出定解问题(1.1)的解,需要把所有形如(1.14)的函数
叠加起来,可得到
(1.15)
如果式(1.15)的右端收敛,且关于
均能逐项的微分两次,则
也满足式(1.1)中的方程和边界条件.
2.4系数
的确定
现在来选取适当的系数
,使
也满足于定解问题(1.1)中的条件.由于
同理
最终得到级数形式表达的微分方程的解为
的特征值和特征函数
随着
在不同的边界条件下的方程
的特征值和特征函数如下
4变量分离法在微分方程中的运用
例1求解下面齐次初边值问题:
解
所给的边界条件齐次且是第一类的的,令
可得特征函数为
且
于是
由初始条件可以确定常数
及
,由初始值可得
(当
时)
所以所求的解为
例2求解下列非齐次初边值问题:
(2.1)
解我们可以运用所谓的特征函数法求解这个问题.因为当
=0时,定解就变成(1.1),对应特征函数系是
.所以设定解问题(2.1)的形式解是
(2.2)
是待定函数.表达式(2.2)满足于边界条件
将式子(2.2)代入到(2.1)中的方程,得
, (2.3)
,等式(2.3)两边同时乘以
,然后在
上关于
积分,得
运用三角函数系
的正交性,我们可以得到
因此得
(2.4)
.(2.5)
接下来确定
.有初始条件可以得
由此可得
(2.6)
下面我们利用拉普拉斯变换的方法来求解
.记
的拉普拉斯变换为
对于方程(2.4)两边同时取拉普拉斯变换,并利用(2.6),得
两边取拉普拉斯的逆变换,则有
.(2.7)
则定解问题(2.1)的形式解是
,(2.8)
由(2.6)式确定.若记
则
,容易知道,
是定解问题(2.6)的形式解,而
是
(2.9)
的形式解.
因为定解问题(1.1)的解已由式(1.10)给出,所以求解式(2.1),只需要求解定解问题(2.9)的解,然后与(1.1)的解相加即可.
注:
这里求非齐次方程解的
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- 分离 变量 法终稿 微分方程 中的 应用