高考理科数学第一轮复习教案54 抛物线.docx

高考理科数学第一轮复习教案54 抛物线.docx

《高考理科数学第一轮复习教案54 抛物线.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学第一轮复习教案54 抛物线.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考理科数学第一轮复习教案54抛物线

第七节　抛物线

1．抛物线的标准方程

掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程．

2．抛物线的几何性质

掌握抛物线的简单性质．

知识点一　抛物线定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

（1）在平面内．

（2）动点到定点F距离与到定直线l的距离相等．

（3）定点不在定直线上．

易误提醒　抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．

[自测练习]

1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　　）

A.　　　　　　　B.

C.D．0

解析：

M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M（x，y），则y＋＝1，∴y＝.

答案：

B

知识点二　抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2＝2px（p>0）

y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）

p的几何意义：

焦点F到准线l的距离

图形

顶点

O（0,0）

对称轴

y＝0

x＝0

焦点

F

F

F

F

离心率

e＝1

准线

方程

x＝－

x＝

y＝－

y＝

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

开口

方向

向右

向左

向上

向下

焦半径（其中P（x0，y0））

|PF|＝x0＋

|PF|＝－x0＋

|PF|＝y0＋

|PF|＝－y0＋

易误提醒　抛物线标准方程中参数p易忽视只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．

必记结论　抛物线焦点弦的几个常用结论：

设AB是过抛物线y2＝2px（p>0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则

（1）x1x2＝，y1y2＝－p2.

（2）弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝（α为弦AB的倾斜角）．

（3）＋＝.

（4）以弦AB为直径的圆与准线相切．

[自测练习]

2．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P（1，m）到焦点的距离为3，则其方程是（　　）

A．y＝4x2B．y＝8x2

C．y2＝4xD．y2＝8x

解析：

本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y2＝2px，则由抛物线的定义知1＋＝3，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，故选D.

答案：

D

3．（2016·成都质检）已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为3，则线段AB的长度为（　　）

A．6B．8

C．10D．12

解析：

依题意，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝2×3＝6，|AB|＝|AF|＋|BF|＝（x1＋1）＋（x2＋1）＝x1＋x2＋2＝8，故选B.

答案：

B

4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为________．

解析：

双曲线－＝1的右焦点F（3,0）是抛物线y2＝2px的焦点，所以＝3，p＝6.

答案：

6

考点一　抛物线的标准方程及几何性质|

1．抛物线y＝4ax2（a≠0）的焦点坐标是（　　）

A．（0，a）B．（a,0）

C.D.

解析：

抛物线方程化标准方程为x2＝y，焦点在y轴上，焦点为.

答案：

C

2．（2016·宜宾诊断）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（－4，－2）的抛物线的标准方程是（　　）

A．y2＝－xB．x2＝－8y

C．y2＝－8x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝－8y

解析：

若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P（－4，－2）的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P（－4，－2）的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.

答案：

D

3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到y轴的距离等于（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析：

AB的中点到抛物线准线的距离为＝5，所以AB的中点到y轴的距离为5－1＝4.

答案：

D

求抛物线方程的三个注意点

（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．

（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．

（3）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

考点二　抛物线的定义及应用|

抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：

1．到焦点与动点的距离之和最小问题．

2．到准线与动点的距离之和最小问题．

3．到两定直线距离之和最小问题．

4．到焦点与定点距离之和最小问题．

探究一　到焦点与动点的距离之和最小问题

1．（2016·邢台模拟）已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：

（x＋1）2＋（y－5）2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．

解析：

抛物线x2＝4y的焦点为F（0,1），准线为y＝－1，由抛物线的定义得|MF|等于M到准线的距离d，所以|MA|＋|MF|的最小值等于圆心C到准线的距离减去圆的半径，即5＋1－1＝5.

答案：

5

探究二　到准线与动点的距离之和最小问题

2．已知圆C：

x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d＋|PC|的最小值为（　　）

A.　　　　　　　B．7

C．6D．9

解析：

由题意得圆的方程为（x＋3）2＋（y＋4）2＝4，

圆心C的坐标为（－3，－4）．

由抛物线定义知，当d＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，

即d＋|PC|＝＝.

答案：

A

探究三　到两定直线距离之和最小问题

3．已知直线l1：

4x－3y＋6＝0和直线l2：

x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为（　　）

A.B.

C．3D．2

解析：

直线l2：

x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F（1,0），则点P到直线l2：

x＝－1的距离等于PF，过点F作直线l1：

4x－3y＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P，所以点P到直线l1：

4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：

x＝－1的距离之和的最小值就是点F（1,0）到直线l1：

4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值为＝2，故选D.

答案：

D

探究四　到焦点与定点距离之和最小问题

4．（2016·赣州模拟）若点A的坐标为（3,2），F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为（　　）

A．（0,0）B.

C．（1，）D．（2,2）

解析：

本题考查抛物线的定义，过M点作左准线的垂线（图略），垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M（2,2）．

答案：

D

求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法

（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

考点三　直线与抛物线的位置关系|

　（2016·保定模拟）已知：

过抛物线x2＝4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过点A，B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C.

（1）求证：

·＝0；

（2）求△ABC的面积的最小值．

[解]　

（1）证明：

设lAB：

y＝kx＋1，代入x2＝4y得x2－4kx－4＝0，设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），则xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.∵y＝x2，∴y′＝x，∴lAC：

y－x＝xA（x－xA），

lBC：

y－x＝xB（x－xB），∴xC＝2k，yC＝－1.

①若k≠0，则kCF＝－，∴kAB·kCF＝－1，

∴·＝0.

②若k＝0，显然·＝0（或∵＝（－2k,2），＝（xB－xA，k（xB－xA）），

∴·＝－2k（xB－xA）＋2k（xB－xA）＝0.

（2）由

（1）知，点C到AB的距离d＝|CF|＝2.

∵|AB|＝|AF|＋|FB|＝yA＋yB＋2＝k（xA＋xB）＋4＝4k2＋4，

∴S＝|AB|d＝4（k2＋1），

∴当k＝0时，△ABC的面积取最小值，为4.

解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法

（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

（3）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．

提醒：

涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．

（2015·高考四川卷）设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆（x－5）2＋y2＝r2（r>0）相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）

A．（1,3）　　　　　B．（1,4）

C．（2,3）D．（2,4）

解析：

当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条，即x＝5±r，所以02，又y<4x0，即r2－4<12，所以02，所以2

答案：

D

　　8.直线与圆锥曲线问题的答题模板

【典例】　（13分）已知抛物线C1：

x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：

＋＝1（a>b>0）的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．

（1）求C2的方程；

（2）若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．

[解题思路]　

（1）由抛物线的焦点坐标可求c，又由两曲线的公共弦长为2得出a，b的关系式，从而求得椭圆方程；

（2）利用方程的思想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率k的方程．

[规范解答]　

（1）由C1：

x2＝4y知其焦点F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1，①（2分）

又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，由C1的方程为x2＝4y，（4分）

由此易知C1与C2的公共点的坐标为，

所以＋＝1，②（5分）

联立①②得a2＝9，b2＝8，

故C2的方程为＋＝1.（6分）

（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

因为与同向，且|AC|＝|BD|，所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是（x1＋x2）2－4x1x2＝（x3＋x4）2－4x3x4.③（8分）

设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.（9分）

由得x2－4kx－4＝0，

而x1，x2是这