初中几何辅助线大全及口诀Word格式.docx

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故作歌诀：

“造角、平、相似，和差积商见。

”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

五：

两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六：

两圆相切、离，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。

七：

切线连直径，直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；

相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。

即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；

相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。

即直角与半圆互为辅助线。

八：

弧、弦、弦心距；

平行、等距、弦。

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；

如遇弦，则弦心距为辅助线。

如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；

反之，亦成立。

如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。

有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。

-1-

九：

面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

三角形中作辅助线的常用方法举例

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1：

已知如图1-1：

D、E为△ABC内两点,求证:

AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

证明：

（法一）将DE两边延长分别交AB、AC

于M、N，

在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE;

（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD；

（2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE；

（3）

由

（1）＋

（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

A

G

F

M

DE

N

D

E

B

C

图1-1

图1-2

（法二：

）如图1-2，延长BD交AC于F，延长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞BD＋DG＋GF（三角形两边之和大于第三边）

（1）

GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………

（2）

DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）

-2-

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：

如图2-1：

已知D为△ABC内的任一点，求证：

∠BDC＞∠BAC。

分析：

因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联

系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，

∠BAC处于在内角的位置；

GE

证法一

：

延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC

证法二：

连接AD，并延长交BC于F

图2-1

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：

注意：

利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

如图3-1：

已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：

BE＋CF＞EF。

要证BE＋CF＞EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。

在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，

在△DBE和△DNE中：

EF

1234

BD图3-1

⎧DN=DB（辅助线的作法）

∵⎪⎨∠1=∠2（已知）

⎪⎩ED=ED（公共边）

∴△DBE≌△DNE（SAS）

∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）

-3-

同理可得：

CF＝NF

在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE＋CF＞EF。

当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。

四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

如图4-1：

AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：

BE＋CF＞EF

证明

延长ED至M，使DM=DE，连接

CM，MF。

在△BDE和△CDM中，

⎧BD=CD（中点的定义）

⎪

2

3

∵⎨∠1=∠CDM（对顶角相等）

4

1

⎩ED=MD（辅助线的作法）

∴△BDE≌△CDM（SAS）

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）

图4-1

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°

（平角的定义）

∴∠3＋∠2=90°

，即：

∠EDF＝90°

∴∠FDM＝∠EDF＝90°

在△EDF和△MDF中

⎧ED=MD（辅助线的作法）

∵⎪⎨∠EDF=∠FDM（已证）⎪⎩DF=DF（公共边）

∴△EDF≌△MDF（SAS）

∴EF＝MF（全等三角形对应边相等）

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE＋CF＞EF

注：

上题也可加倍FD，证法同上。

当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

如图5-1：

AD为△ABC的中线，求证：

AB＋AC＞2AD。

-4-

要证AB＋AC＞2AD，由图想到：

AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD

∵AD为△ABC的中线

（已知）

∴BD＝CD（中线定义）

在△ACD和△EBD中

⎧BD=CD（已证）

对顶角相等

图5-1

⎨∠ADC=∠EDB（

）

⎪⎩AD=ED（辅助线的作法）

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有：

AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第

三边）

∴AB＋AC＞2AD。

BDC

图5-2

（常延长中线加倍，构造全等三角形）

练习：

已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF＝2AD。

六、截长补短法作辅助线。

已知如图6-1：

在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。

求证：

AB－AC＞PB－PC。

要证：

AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关

12

系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第

P

三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN

等于AC，得AB－AC＝BN，再连接PN，则PC＝PN，又在△

PNB中，PB－PN＜BN，即：

图-

6

（截长法）

在AB上截取AN＝AC连接PN,在△APN和△APC中

⎧AN=AC（辅助线的作法）

⎪⎩AP=