人教版九级上册数学课本知识点归纳文档格式.docx
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0时,方程没有实数根。
3、配方法:
配方法的理论根据是完全平方公式
,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有
。
配方法解一元二次方程的步骤是:
①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。
4、公式法:
公式法是用求根公式,解一元二次方程的解的方法。
一元二次方程
的求根公式:
当
>
0时,方程有两个实数根。
=0时,方程有两个相等实数根。
<0时,方程没有实数根。
5、因式分解法:
先将一元二次方程因式分解,化成两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解叫因式分解法。
这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式
根的判别式:
中,
叫做一元二次方程
的根的判别式,通常用“
”来表示,即
四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程
的两个实数根是
,由求根公式
可算出
第22章二次函数
1、理解二次函数的概念
2、学会画二次函数的图象
3、掌握二次函数的性质
4、学会函数图象的平移
5、能够运用二次函数解决实际问题
1、二次函数的解析式
①一般式:
(a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。
②顶点式:
③交点式(与x轴):
2、抛物线的性质
①二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
②a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>
0时,开口方向向上,a<
0时,开口方向向下。
a还可以决定开口大小,a越大开口就越小,a越小开口就越大。
③抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
.
④对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
⑤抛物线有一个顶点P,坐标为P(
)
时,P在y轴上;
时,P在x轴上。
⑥二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;
当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
⑦一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
Ⅰ.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是
-b/2a<
0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
Ⅱ.当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是
-b/2a>
0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
事实上,b有其自身的几何意义:
抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
⑧常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
⑨二次函数的增减性
抛物线
,若a>
0,当
时,y随x的增大而减小;
时,y随x的增大而增大.若a<
时,y随x的增大而增大;
时,y随x的增大而减小.抛物线
的最值:
如果a>
0(a<
0),则当
时,y最小(大)值=
.
3、二次函数
(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
时
开口向上
开口向下
(
轴)
(0,0)
(0,
0)
4、二次函数与一元二次方程
二次函数(以下称函数)
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即
)此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根;
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
的图象与坐标轴的交点:
Δ>0,图象与x轴交于两点:
,0)和(
,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
Δ<0,图象与x轴无交点;
5.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:
6.二次函数的应用
二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
第23章旋转
1、理解旋转、旋转中心、旋转角、中心对称的概念
2、学会找旋转角及画中心对称图形
3、掌握中心对称的性质
4、学会关于原点对称的点的坐标
5、了解图形旋转的应用
一、旋转
1、定义:
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
2、性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
⑶旋转前后的图形全等。
二、中心对称
把一个图形绕着某一个点旋转180°
,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定:
如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形:
把一个图形绕某一个点旋转180°
,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心。
5、关于原点对称的点的特征:
两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)
6、关于x轴对称的点的特征:
两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)。
7、关于y轴对称的点的特征:
两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)。
第24章圆
一、学习目标
1、理解圆的几何定义与圆有关的概念
2、掌握垂径定理、切线的判定定理、切线长定理以及圆周角定理
3、学会判断点、直线、圆与圆的位置关系
4、会计算弧长、扇形的面积及圆锥的侧面积和全面积
一、圆的相关概念
1、圆的定义:
在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示:
以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”
二、弦、弧等与圆有关的定义
(1)弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(如图中的AB)
(2)直径:
经过圆心的弦叫做直径。
(如途中的CD)直径等于半径的2倍。
(3)半圆:
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(4)弧、优弧、劣弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“
”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);
小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)
三、垂径定理及其推论
1.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
四、圆的对称性
1、圆的轴对称性:
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性:
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角:
顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距:
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。
推论:
在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、圆周角定理及其推论
1、圆周角:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
90°
的圆周角所对的弦是直径。
推论3:
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
七、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有:
d<
r
点P在⊙O内;
d=r
点P在⊙O上;
d>
点P在⊙O外。
八、过三点的圆
1、过三点的圆:
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆:
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心:
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件):
圆内接四边形对角互补。
九、反证法
先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法。
十、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系,具体如下:
(1)相交:
直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;
(2)相切:
直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,
(3)相离:
直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
直线l与⊙O相交
r;
直线l与⊙O相切
d=r;
直线l与⊙O相离
十一、切线的判定和性质
1、切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径。
十二、切线长定理
1、切线长:
在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
十三、三角形的内切圆
1、三角形的内切圆:
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内
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