高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第2节 两条直线的位置关系学案 理 新人教B版.docx

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高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第2节两条直线的位置关系学案理新人教B版

第2节　两条直线的位置关系

最新考纲　1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

知识梳理

1.两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.

（2）两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

2.两直线相交

直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0和l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解.

3.距离公式

（1）两点间的距离公式

平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为|P1P2|＝.

特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离|OP|＝.

（2）点到直线的距离公式

平面上任意一点P0（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

（3）两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线l1：

Ax＋By＋C1＝0，l2：

Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.

[常用结论与微点提醒]

1.直线系方程

（1）与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0（m∈R且m≠C）.

（2）与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0（n∈R）.

2.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑.

3.在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中x，y的系数分别化为相同的形式.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.（　　）

（2）如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.（　　）

（3）若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.（　　）

（4）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.（　　）

解析　

（1）两直线l1，l2有可能重合.

（2）如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2.圆（x＋1）2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为（　　）

A.1B.2

C.D.2

解析　圆（x＋1）2＋y2＝2的圆心坐标为（－1，0），由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.

答案　C

3.（2018·济南期中）经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是（　　）

A.6x－4y－3＝0B.3x－2y－3＝0

C.2x＋3y－2＝0D.2x＋3y－1＝0

解析　因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.

答案　A

4.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________.

解析　先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，

则两平行线间的距离为d＝＝.

答案　

5.（教材练习改编）已知P（－2，m），Q（m，4），且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.

解析　由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.

答案　1

考点一　两直线的平行与垂直

【例1】（一题多解）已知直线l1：

ax＋2y＋6＝0和直线l2：

x＋（a－1）y＋a2－1＝0.

（1）当l1∥l2时，求a的值；

（2）当l1⊥l2时，求a的值.

解　

（1）法一　当a＝1时，l1：

x＋2y＋6＝0，

l2：

x＝0，l1不平行于l2；

当a＝0时，l1：

y＝－3，l2：

x－y－1＝0，l1不平行于l2；

当a≠1且a≠0时，

两直线方程可化为l1：

y＝－x－3，l2：

y＝x－（a＋1），由l1∥l2可得解得a＝－1.

综上可知，a＝－1.

法二　由l1∥l2知

即⇒⇒a＝－1.

（2）法一　当a＝1时，l1：

x＋2y＋6＝0，l2：

x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；

当a≠1时，l1：

y＝－x－3，l2：

y＝x－（a＋1），

由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝.

法二　∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，

即a＋2（a－1）＝0，得a＝.

规律方法　1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.

2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.

【训练1】

（1）已知直线l过圆x2＋（y－3）2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是（　　）

A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0

C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝0

（2）设不同直线l1：

2x－my－1＝0，l2：

（m－1）x－y＋1＝0.则“m＝2”是“l1∥l2”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　

（1）圆x2＋（y－3）2＝4的圆心为点（0，3），又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：

y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.

（2）当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.

当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，

解得m＝2或m＝－1，

但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，

故必要性成立，故选C.

答案　

（1）D　

（2）C

考点二　两直线的交点与距离问题

【例2】

（1）（一题多解）已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.

（2）（一题多解）直线l过点P（－1，2）且到点A（2，3）和点B（－4，5）的距离相等，则直线l的方程为________.

解析　

（1）法一　联立方程

解得

（若2k＋1＝0，即k＝－，则两直线平行）

∴交点坐标为.又∵交点位于第一象限，

∴解得－＜k＜.

法二　如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A（4，0），B（0，2）.

而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k（x＋2），表示这是一条过定点P（－2，1），斜率为k的动直线.

∵两直线的交点在第一象限，

∴两直线的交点必在线段AB上（不包括端点），

∴动直线的斜率k需满足kPA＜k＜kPB.

∵kPA＝－，kPB＝.

∴－＜k＜.

（2）法一　当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k（x＋1），即kx－y＋k＋2＝0.

由题意知＝，

即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－.

∴直线l的方程为y－2＝－（x＋1），

即x＋3y－5＝0.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意.

法二　当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋3y－5＝0.

当l过AB中点时，AB的中点为（－1，4）.

∴直线l的方程为x＝－1.

故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.

答案　

（1）　

（2）x＋3y－5＝0或x＝－1

规律方法　1.求过两直线交点的直线方程的方法

求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.

2.利用距离公式应注意：

（1）点P（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；

（2）两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.

【训练2】（2018·合肥调研）设l1为曲线f（x）＝ex＋x（e为自然对数的底数）的切线，直线l2的方程为2x－y＋3＝0，且l1∥l2，则直线l1与l2的距离为________.

解析　由f（x）＝ex＋x，得f′（x）＝ex＋1，设l1与曲线f（x）＝ex＋x相切的切点为（x1，y1），直线l2的方程为2x－y＋3＝0，且l1∥l2，∴ex1＋1＝2，解得x1＝0，y1＝1，则直线l1与l2的距离即为切点到l2的距离，即＝.

答案　

考点三　对称问题

【例3】已知直线l：

2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）.求：

（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；

（2）直线m：

3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

（3）（一题多解）直线l关于点A（－1，－2）对称的直线l′的方程.

解　

（1）设A′（x，y），再由已知

解得∴A′.

（2）在直线m上取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点必在m′上.

设对称点为M′（a，b），

则解得M′.

设m与l的交点为N，则由得N（4，3）.

又∵m′经过点N（4，3），

∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0.

（3）法一　在l：

2x－3y＋1＝0上任取两点，

如M（1，1），N（4，3），

则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上.

易知M′（－3，－5），N′（－6，－7），由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.

法二　设P（x，y）为l′上任意一点，

则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为

P′（－2－x，－4－y），

∵P′在直线l上，∴2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，

即2x－3y－9＝0.

规律方法　1.解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.

2.如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.

3.若直线l1，l2关于直线l对称，则有如下性质：

（1）若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；

（2）若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B′在直线l2上.

【训练3】（一题多解）光线沿直线l1：

x－2y＋5＝0射入，遇直线l：

3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程.

解　法一　由

得

∴反射点M的坐标为（－1，2）.

又取直线x－2y＋5＝0上一点P（－5，0），设P关于直线l的对称点P′（x0，y0），

由PP′⊥l可知，kPP′＝－＝.

而PP′的中点Q的坐标为，又Q点在l上，

∴3·－2·＋7＝0.

由得

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0.

法二　设直线x－2y＋5＝0上任意一点P（x0，y0）关于直线l的对称点为P′（x，y），则＝－，

又PP′的中点Q在l上，∴3×－2×＋7＝0，由

可得P点的横、纵坐标分别为

x0＝，y0＝，

代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，

∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.

基础巩固题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是（　　）

A.平行B.垂直

C.相交但不垂直D.不能确定

解析　直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率为k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.

答案　C

2.（2018·刑台模拟）“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋（a－2）y＋1＝0平行”