上海四年级数学整除文档格式.docx
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例如,48能被16整除,16能被8整除,那么48一定能被8整除。
性质2如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如,21与15都能被3整除,那么21+15及21-15都能被3整除。
性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如,126能被9整除,又能被7整除,且9与7互质,那么126能被9×
7=63整除。
利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性,我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来:
(1)一个数的个位数字如果是0,2,4,6,8中的一个,那么这个数就能被2整除。
(2)一个数的个位数字如果是0或5,那么这个数就能被5整除。
(3)一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除,那么这个数就能被3整除。
(4)一个数的末两位数如果能被4(或25)整除,那么这个数就能被4(或25)整除。
(5)一个数的末三位数如果能被8(或125)整除,那么这个数就能被8(或125)整除。
(6)一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除,那么这个数就能被9整除。
其中
(1)
(2)(3)是三年级学过的内容,(4)(5)(6)是本讲要学习的内容。
因为100能被4(或25)整除,所以由整除的性质1知,整百的数都能被4(或25)整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和,所以由整除的性质2知,只要这个数的后两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
这就证明了(4)。
类似地可以证明(5)。
(6)的正确性,我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837=800+30+7
=8×
100+3×
10+7
(99+1)+3×
(9+1)+7
99+8+3×
9+3+7
=(8×
99+3×
9)+(8+3+7)。
因为99和9都能被9整除,所以根据整除的性质1和性质2知,(8x99+3x9)能被9整除。
再根据整除的性质2,由(8+3+7)能被9整除,就能判断837能被9整除。
利用(4)(5)(6)还可以求出一个数除以4,8,9的余数:
(4‘)一个数除以4的余数,与它的末两位除以4的余数相同。
(5')一个数除以8的余数,与它的末三位除以8的余数相同。
(6')一个数除以9的余数,与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例1在下面的数中,哪些能被4整除?
哪些能被8整除?
哪些能被9整除?
234,789,7756,8865,3728.8064。
解:
能被4整除的数有7756,3728,8064;
能被8整除的数有3728,8064;
能被9整除的数有234,8865,8064。
例2在四位数56□2中,被盖住的十位数分别等于几时,这个四位数分别能被9,8,4整除?
如果56□2能被9整除,那么
5+6+□+2=13+□
应能被9整除,所以当十位数是5,即四位数是5652时能被9整除;
如果56□2能被8整除,那么6□2应能被8整除,所以当十位数是3或7,即四位数是5632或5672时能被8整除;
如果56□2能被4整除,那么□2应能被4整除,所以当十位数是1,3,5,7,9,即四位数是5612,5632,5652,5672,5692时能被4整除。
到现在为止,我们已经学过能被2,3,5,4,8,9整除的数的特征。
根据整除的性质3,我们可以把判断整除的范围进一步扩大。
例如,判断一个数能否被6整除,因为6=2×
3,2与3互质,所以如果这个数既能被2整除又能被3整除,那么根据整除的性质3,可判定这个数能被6整除。
同理,判断一个数能否被12整除,只需判断这个数能否同时被3和4整除;
判断一个数能否被72整除,只需判断这个数能否同时被8和9整除;
如此等等。
例3从0,2,5,7四个数字中任选三个,组成能同时被2,5,3整除的数,并将这些数从小到大进行排列。
因为组成的三位数能同时被2,5整除,所以个位数字为0。
根据三位数能被3整除的特征,数字和2+7+0与5+7+0都能被3整除,因此所求的这些数为270,570,720,750。
例4五位数
能被72整除,问:
A与B各代表什么数字?
分析与解:
已知
能被72整除。
因为72=8×
9,8和9是互质数,所以
既能被8整除,又能被9整除。
根据能被8整除的数的特征,要求
能被8整除,由此可确定B=6。
再根据能被9整除的数的特征,
的各位数字之和为
A+3+2+9+B=A+3-f-2+9+6=A+20,
因为l≤A≤9,所以21≤A+20≤29。
在这个范围内只有27能被9整除,所以A=7。
解答例4的关键是把72分解成8×
9,再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。
在解题顺序上,应先确定B所代表的数字,因为B代表的数字不受A的取值大小的影响,一旦B代表的数字确定下来,A所代表的数字就容易确定了。
例5六位数
是6的倍数,这样的六位数有多少个?
因为6=2×
3,且2与3互质,所以这个整数既能被2整除又能被3整除。
由六位数能被2整除,推知A可取0,2,4,6,8这五个值。
再由六位数能被3整除,推知
3+A+B+A+B+A=3+3A+2B
能被3整除,故2B能被3整除。
B可取0,3,6,9这4个值。
由于B可以取4个值,A可以取5个值,题目没有要求A≠B,所以符合条件的六位数共有5×
4=20(个)。
例6要使六位数
能被36整除,而且所得的商最小,问A,B,C各代表什么数字?
分析与解:
因为36=4×
9,且4与9互质,所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。
六位数
能被4整除,就要
能被4整除,因此C可取1,3,5,7,9。
要使所得的商最小,就要使
这个六位数尽可能小。
因此首先是A尽量小,其次是B尽量小,最后是C尽量小。
先试取A=0。
的各位数字之和为12+B+C。
它应能被9整除,因此B+C=6或B+C=15。
因为B,C应尽量小,所以B+C=6,而C只能取1,3,5,7,9,所以要使
尽可能小,应取B=1,C=5。
当A=0,B=1,C=5时,六位数能被36整除,而且所得商最小,为150156÷
36=4171。
练习4
1.6539724能被4,8,9,24,36,72中的哪几个数整除?
2.个位数是5,且能被9整除的三位数共有多少个?
3.一些四位数,百位上的数字都是3,十位上的数字都是6,并且它们既能被2整除又能被3整除。
在这样的四位数中,最大的和最小的各是多少?
4.五位数
能被12整除,求这个五位数。
5.有一个能被24整除的四位数□23□,这个四位数最大是几?
最小是几?
6.从0,2,3,6,7这五个数码中选出四个,可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数?
7.在123的左右各添一个数码,使得到的五位数能被72整除。
8.学校买了72只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□67.9□元,你知道每只小足球多少钱吗?
弃九法
从第4讲知道,如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除,那么这个数能被9整除;
如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几,那么这个数被9除的余数也一定是几。
利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。
例如,3645732这个数,各个数位上的数字之和为
3+6+4+5+7+3+2=30,
30被9除余3,所以3645732这个数不能被9整除,且被9除后余数为3。
但是,当一个数的数位较多时,这种计算麻烦且易错。
有没有更简便的方法呢?
因为我们只是判断这个式子被9除的余数,所以凡是若干个数的和是9时,就把这些数划掉,如3+6=9,4+5=9,7+2=9,把这些数划掉后,最多只剩下一个3(如下图),所以这个数除以9的余数是3。
这种将和为9或9的倍数的数字划掉,用剩下的数字和求除以9的余数的方法,叫做弃九法。
一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。
利用弃九法可以计算一个数的九余数,还可以检验四则运算的正确性。
例1求多位数7645821369815436715除以9的余数。
利用弃九法,将和为9的数依次划掉。
只剩下7,6,1,5四个数,这时口算一下即可。
口算知,7,6,5的和是9的倍数,又可划掉,只剩下1。
所以这个多位数除以9余1。
例2将自然数1,2,3,…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100,那么所得的数除以9的余数是多少?
因为这个数太大,全部写出来很麻烦,在使用弃九法时不能逐个划掉和为9或9的倍数的数,所以要配合适当的分析。
我们已经熟知
1+2+3+…+9=45,
而45是9的倍数,所以每一组1,2,3,…,9都可以划掉。
在1~99这九十九个数中,个位数有十组1,2,3,…,9,都可划掉;
十位数也有十组1,2,3,…,9,也都划掉。
这样在这个大数中,除了0以外,只剩下最后的100中的数字1。
所以这个数除以9余1。
在上面的解法中,并没有计算出这个数各个数位上的数字和,而是利用弃九法分析求解。
本题还有其它简捷的解法。
因为一个数与它的各个数位上的数字之和除以9的余数相同,所以题中这个数各个数位上的数字之和,与1+2+…+100除以9的余数相同。
利用高斯求和法,知此和是5050。
因为5050的数字和为5+0+5+0=10,利用弃九法,弃去一个9余1,故5050除以9余1。
因此题中的数除以9余1。
例3检验下面的加法算式是否正确:
2638457+3521983+6745785=12907225。
若干个加数的九余数相加,所得和的九余数应当等于这些加数的和的九余数。
如果不等,那么这个加法算式肯定不正确。
上式中,三个加数的九余数依次为8,4,6,8+4+6的九余数为0;
和的九余数为1。
因为0≠1,所以这个算式不正确。
例4检验下面的减法算式是否正确:
7832145-2167953=5664192。
被减数的九余数减去减数的九余数(若不够减,可在被减数的九余数上加9,然后再减)应当等于差的九余数。
如果不等,那么这个减法计算肯定不正确。
上式中被减数的九余数是3,减数的九余数是6,由(9+3)-6=6知,原题等号左边的九余数是6。
等号右边的九余数也是6。
因为6=6,所以这个减法运算可能正确。
值得注意的是,这里我们用的是“可能正确”。
利用弃九法检验加法、减法、乘法(见例5)运算的结果是否正确时,如果等号两边的九余数不相等,那么这个算式肯定不正确;
如果等号两边的九余数相等,那么还不能确定算式是否正确,因为九余数只有0,1,2,…,8九种情况,不同的数可能有相同的九余数。
所以用弃九法检验运算的正确性,只是一种粗略的检验。
例5检验下面的乘法算式是否正确:
46876×
9537=447156412。
两个因数的九余数相乘,所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。
如果不等,那么这个乘法计算肯定不正确
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