热力学统计物理习题Word下载.docx
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1.3在和1下,测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量,今使铜块加热至。
问:
(a)压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变?
(b)若压强增加100,铜块的体积改变多少?
解:
(a)根据1.2题式
(2),有
(1)
上式给出,在邻近的两个平衡态,系统的体积差,温度差和压强差之间的关系。
如果系统的体积不变,与的关系为
(2)
在和可以看作常量的情形下,将式
(2)积分可得
(3)
将式
(2)积分得到式(3)首先意味着,经准静态等容过程后,系统在初态和终态的压强差和温度差满足式(3)。
但是应当强调,只要初态和终态是平衡态,两态间的压强差和温度差就满足式(3)。
这是因为,平衡状态的状态参量给定后,状态函数就具有确定值,与系统到达该状态的历史无关。
本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。
在加热过程中,铜块各处的温度可以不等,铜块与热源可以存在温差等等,但是只要铜块的初态和终态是平衡态,两态的压强和温度差就满足式(3)。
将所给数据代入,可得
因此,将铜块由加热到,要使铜块体积保持不变,压强要增强
(b)1.2题式(4)可改写为
(4)
将所给数据代入,有
因此,将铜块由加热至,压强由增加,铜块体积将增加原体积的倍。
1.12假设理想气体的是温度的函数,试求在准静态绝热过程中的关系,该关系式中要用到一个函数,其表达式为
根据式(,理想气体在准静态绝热过程中满足
(1)
用物态方程除上式,第一项用除,第二项用除,可得
(2)
利用式(,
可将式
(2)改定为
将上式积分,如果是温度的函数,定义
(4)
可得
(常量), (5)
(常量)。
(6)
式(6)给出当是温度的函数时,理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
假设在图中两条绝热线交于点,如图所示。
设想一等温线与
两条绝热线分别交于点和点(因为等温线的斜率小于绝热线的斜率,这样的等温线总是存在的),则在循环过程中,系统在等温过程中从外界吸取热量,而在循环过程中对外做功,其数值等于三条线所围面积(正值)。
循环过程完成后,系统回到原来的状态。
根据热力学第一定律,有
。
这样一来,系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了,
这违背了热力学第二定律的开尔文说法,是不可能的。
因此两条绝热线不可能相交。
1.15热机在循环中与多个热源交换热量,在热机从其中吸收热量的热源中,热源的最高温度为,在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度
为,试根据克氏不等式证明,热机的效率不超过
根据克劳修斯不等式(式(,有
(1)
式中是热机从温度为的热源吸取的热量(吸热为正,放热为负)。
将热量重新定义,可将式
(1)改写为
(2)
式中是热机从热源吸取的热量,是热机在热源放出的热量,,恒正。
将式
(2)改写为
(3)
假设热机从其中吸取热量的热源中,热源的最高温度为,在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度为,必有
故由式(3)得
定义为热机在过程中吸取的总热量,为热机放出的总热量,则式(4)可表为
(5)
(6)
根据热力学第一定律,热机在循环过程中所做的功为
热机的效率为
(7)
1.1810A的电流通过一个的电阻器,历时1s。
(a)若电阻器保持为室温,试求电阻器的熵增加值。
(b)若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为,电阻器的质量为10g,比热容为问电阻器的熵增加值为多少?
(a)以为电阻器的状态参量。
设想过程是在大气压下进行的,如果电阻器的温度也保持为室温不变,则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
(b)如果电阻器被绝热壳包装起来,电流产生的焦耳热将全部被电阻器吸收而使其温度由升为,所以有
故
电阻器的熵变可参照§
1.17例二的方法求出,为
2.2 设一物质的物态方程具有以下形式:
试证明其内能与体积无关.
根据题设,物质的物态方程具有以下形式:
(1)
故有
但根据式(,有
所以
(4)
这就是说,如果物质具有形式为
(1)的物态方程,则物质的内能与体积无关,只是温度T的函数.
2.3 求证:
焓的全微分为
令,得
内能的全微分为
(3)
令,得
2.4 已知,求证
对复合函数
(1)
求偏导数,有
(2)
如果,即有
(3)
式
(2)也可以用雅可比行列式证明:
2.7 实验发现,一气体的压强与体积V的乘积以及内能U都只是温度的函数,即
试根据热力学理论,讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.
根据题设,气体具有下述特性:
(2)
由式(,有
(3)
而由式
(1)可得
将式(4)代入式(3),有
(5)
积分得
(6)
式中C是常量.因此,如果气体具有式
(1),
(2)所表达的特性,由热力学理论知其物态方程必具有式(6)的形式.确定常量C需要进一步的实验结果.
2.12 一弹簧在恒温下的恢复力与其伸长成正比,即,比例系数是温度的函数.今忽略弹簧的热膨胀,试证明弹簧的自由能,熵和内能的表达式分别为
在准静态过程中,对弹簧施加的外力与弹簧的恢复力大小相等,方向相反.当弹簧的长度有的改变时,外力所做的功为
(1)
根据式(,弹簧的热力学基本方程为
(2)
弹簧的自由能定义为
将胡克定律代入,有
因此
在固定温度下将上式积分,得
其中是温度为,伸长为零时弹簧的自由能.
弹簧的熵为
弹簧的内能为
(6)
在力学中通常将弹簧的势能记为
没有考虑是温度的函数.根据热力学,是在等温过程中外界所做的功,是自由能.
3.3 试由及证明及
式(
稳定性条件(
其中第二个不等式也可表为
故式
(1)右方不可能取负值.由此可知
(4)
第二步用了式
(2)的第一式.
根据式(,有
因为恒正,且,故
(6)
第二步用了式
(2)的第二式.
3.4 求证:
(a) (b)
(a)由自由能的全微分(式(
(1)
及偏导数求导次序的可交换性,易得
这是开系的一个麦氏关系.
(a)类似地,由吉布斯函数的全微分(式(
(3)
这也是开系的一个麦氏关系.
3.5 求证:
自由能是以为自变量的特性函数,求对的偏导数(不变),有
但由自由能的全微分
代入式
(1),即有
3.6 两相共存时,两相系统的定压热容量,体胀系数和等温压缩系数均趋于无穷,试加以说明.
我们知道,两相平衡共存时,两相的温度、压强和化学势必须相等.如果在平衡压强下,令两相系统准静态地从外界吸取热量,物质将从比熵较低的相准静态地转移到比熵较高的相,过程中温度保持为平衡温度不变.两相系统吸取热量而温度不变表明它的(定压)热容量趋于无穷.在上述过程中两相系统的体积也将发生变化而温度保持不变,说明两相系统的体胀系
数也趋于无穷.如果在平衡温度下,以略高(相差无穷小)于平衡
压强的压强准静态地施加于两相系统,物质将准静态地从比容较高的相转移到比容较低的相,使两相系统的体积发生改变.无穷小的压强导致有限的体
积变化说明,两相系统的等温压缩系数也趋于无穷.
3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为
如果一相是气相,可看作理想气体,另一相是凝聚相,试将公式化简.
发生相变物质由一相转变到另一相时,其摩尔内能、摩尔焓和摩尔体积的改变满足
平衡相变是在确定的温度和压强下发生的,相变中摩尔焓的变化等于物质在相变过程中吸收的热量,即相变潜热L:
克拉珀龙方程(式(
将式
(2)和式(4)代入
(1),即有
(5)
如果一相是气体,可以看作理想气体,另一相是凝聚相,其摩尔体积远小于气相的摩尔体积,则克拉珀龙方程简化为
(6)
式(5)简化为
(7)
3.12 蒸气与液相达到平衡.以表示在维持两相平衡的条件下,蒸气体积随温度的变化率.试证明蒸气的两相平衡膨胀系数为
蒸气的两相平衡膨胀系数为
(1)
将蒸气看作理想气体,,则有
在克拉珀龙方程中略去液相的摩尔体积,因而有
将式
(2)和式(3)代入式
(1),即有
(4)
6.1试根据式(,在到的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为
解:
式(,在体积内,在到到到的动量范围内,自由粒子可能的量子态数为
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分,可得在体积V内,动量大小在到范围内三维自由粒子可能的量子态数为
上式可以理解为将空间体积元(体积V,动量球壳)除以相格大小而得到的状态数.
自由粒子的能量动量关系为
将上式代入式
(2),即得在体积V内,在到的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为
6.2试证明,对于一维自由粒子,在长度L内,在到的能量范围内,量子态数为
根据式(,一维自由粒子在空间体积元内可能的量子态数为
在长度L内,动量大小在到范围内(注意动量可以有正负两个可能的方向)的量子态数为
将能量动量关系
代入,即得
6.3试证明,对于二维的自由粒子,在面积内,在到的能量范围内,量子态数为
根据式(,二维自由粒子在空间体积元内的量子态数为
用二维动量空间的极坐标描述粒子的动量,与的关系为
用极坐标描述时,二维动量空间的体积元为
在面积内,动量大小在到范围内,动量方向在到范围内,二维自由粒子可能的状态数为
(2)
对积分,从0积分到,有
可得在面积内,动量大小在到范围内(动量方向任意),二维自由粒子可能的状态数为
代入,即有
6.4在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系为
试求在体积V内,在到的能量范围内三维粒子的量子态数.
式(,动量大小在到范围内三维自由粒子可能的状态数为
将极端相对论粒子的能量动量关系
代入,可得在体积V内,在到的能量范围内,极端相对论粒子的量子态数为
7.1试根据公式证明,对于非相对论粒子
有
上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.
处在边长为L的立方体中,非相对论粒子
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