高中数学不等式练习题.docx
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高中数学不等式练习题
高中数学不等式练习题
一.选择题(共16小题)
1.若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )
A.a+<<log2(a+b))B.<log2(a+b)<a+
C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b))<a+<
2.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z
3.若x,y满足,则x+2y的最大值为( )
A.1B.3C.5D.9
4.设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是( )
A.﹣15B.﹣9C.1D.9
5.已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是( )
A.0B.2C.5D.6
6.设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为( )
A.0B.1C.2D.3
7.设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是( )
A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3]
8.已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最小值为( )
A.﹣3B.0C.D.3
9.若变量x,y满足约束条件,则目标函数z=﹣2x+y的最大值为( )
A.1B.﹣1C.﹣D.﹣3
10.若a,b∈R,且ab>0,则+的最小值是( )
A.1B.C.2D.2
11.已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是( )
A.ca>cbB.ac<bcC.D.logac>logbc
12.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则的最小值是( )
A.2B.2C.4D.2
13.设a>0,b>2,且a+b=3,则的最小值是( )
A.6B.C.D.
14.已知x,y∈R,x2+y2+xy=315,则x2+y2﹣xy的最小值是( )
A.35B.105C.140D.210
15.设正实数x,y满足x>,y>1,不等式+≥m恒成立,则m的最大值为( )
A.2B.4C.8D.16
16.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为( )
A.B.C.D.
二.解答题(共10小题)
17.已知不等式|2x﹣3|<x与不等式x2﹣mx+n<0的解集相同.
(Ⅰ)求m﹣n;
(Ⅱ)若a、b、c∈(0,1),且ab+bc+ac=m﹣n,求a+b+c的最小值.
18.已知不等式x2﹣2x﹣3<0的解集为A,不等式x2+x﹣6<0的解集为B.
(1)求A∩B;
(2)若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求不等式ax2+x+b<0的解集.
19.解不等式:
≥2.
20.已知不等式ax2+x+c>0的解集为{x|1<x<3}.
(1)求a,c的值;
(2)若不等式ax2+2x+4c>0的解集为A,不等式3ax+cm<0的解集为B,且A⊂B,求实数m的取值范围.
21.
(1)已知实数x,y均为正数,求证:
;
(2)解关于x的不等式x2﹣2ax+a2﹣1<0(a∈R).
22.已知a,b,c是全不相等的正实数,求证:
>3.
23.设a、b为正实数,且+=2.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若(a﹣b)2≥4(ab)3,求ab的值.
24.已知x,y∈(0,+∞),x2+y2=x+y.
(1)求的最小值;
(2)是否存在x,y,满足(x+1)(y+1)=5?
并说明理由.
25.某车间计划生产甲、乙两种产品,甲种产品每吨消耗A原料6吨、B原料4吨、C原料4吨,乙种产品每吨消耗A原料3吨、B原料12吨、C原料6吨.已知每天原料的使用限额为A原料240吨、B原料400吨、C原料240吨.生产甲种产品每吨可获利900元,生产乙种产品每吨可获利600元,分别用x,y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数
(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)每天分别生甲、乙两种产品各多少吨,才能使得利润最大?
并求出此最大利润.
26.某家公司每月生产两种布料A和B,所有原料是三种不同颜色的羊毛.下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量,以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量.
羊毛颜色
每匹需要/kg
供应量/kg
布料A
布料B
红
3
3
1050
绿
4
2
1200
黄
2
6
1800
已知生产每匹布料A、B的利润分别为60元、40元.分别用x、y表示每月生产布料A、B的匹数.
(Ⅰ)用x、y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(Ⅱ)如何安排生产才能使得利润最大?
并求出最大的利润.
高中数学不等式练习题
参考答案与试题解析
一.选择题(共16小题)
1.(2017•山东)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )
A.a+<<log2(a+b))B.<log2(a+b)<a+
C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b))<a+<
【分析】a>b>0,且ab=1,可取a=2,b=.代入计算即可得出大小关系.
【解答】解:
∵a>b>0,且ab=1,
∴可取a=2,b=.
则=4,==,log2(a+b)==∈(1,2),
∴<log2(a+b)<a+.
故选:
B.
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2.(2017•新课标Ⅰ)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则( )
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z
【分析】x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.可得3y=,2x=,5z=.根据==,>=.即可得出大小关系.
另解:
x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.==>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.
【解答】解:
x、y、z为正数,
令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.
则x=,y=,z=.
∴3y=,2x=,5z=.
∵==,>=.
∴>lg>>0.
∴3y<2x<5z.
另解:
x、y、z为正数,
令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.
则x=,y=,z=.
∴==>1,可得2x>3y,
==>1.可得5z>2x.
综上可得:
5z>2x>3y.
故选:
D.
【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
3.(2017•北京)若x,y满足,则x+2y的最大值为( )
A.1B.3C.5D.9
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可.
【解答】解:
x,y满足的可行域如图:
由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时,取得最大值,由,可得A(3,3),
目标函数的最大值为:
3+2×3=9.
故选:
D.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.
4.(2017•新课标Ⅱ)设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最小值是( )
A.﹣15B.﹣9C.1D.9
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可.
【解答】解:
x、y满足约束条件的可行域如图:
z=2x+y经过可行域的A时,目标函数取得最小值,
由解得A(﹣6,﹣3),
则z=2x+y的最小值是:
﹣15.
故选:
A.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查数形结合以及计算能力.
5.(2017•山东)已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是( )
A.0B.2C.5D.6
【分析】画出约束条件表示的平面区域,根据图形找出最优解是
由解得的点A的坐标,
代入目标函数求出最大值.
【解答】解:
画出约束条件表示的平面区域,如图所示;
由解得A(﹣3,4),
此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大,
所以目标函数z=x+2y的最大值为
zmax=﹣3+2×4=5.
故选:
C.
【点评】本题考查了线性规划的应用问题,是中档题.
6.(2017•新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为( )
A.0B.1C.2D.3
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可.
【解答】解:
x,y满足约束条件的可行域如图:
,则z=x+y经过可行域的A时,目标函数取得最大值,
由解得A(3,0),
所以z=x+y的最大值为:
3.
故选:
D.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查约束条件的可行域,判断目标函数的最优解是解题的关键.
7.(2017•新课标Ⅲ)设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是( )
A.[﹣3,0]B.[﹣3,2]C.[0,2]D.[0,3]
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可.
【解答】解:
x,y满足约束条件的可行域如图:
目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,
由解得A(0,3),
由解得B(2,0),
目标函数的最大值为:
2,最小值为:
﹣3,
目标函数的取值范围:
[﹣3,2].
故选:
B.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键.
8.(2017•大石桥市校级学业考试)已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣y的最小值为( )
A.﹣3B.0C.D.3
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
【解答】解:
由约束条件作出可行域如图,
A(0,3),
化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z,由图可知,当直线y=x﹣z过点A时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为﹣3.
故选:
A.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.
9.(2017•天津学业考试)若变量x,y满足约束条件,则目标函数z=﹣2x+y的最大值为( )
A.1B.﹣1C.﹣D.﹣3
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:
由约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(1,1),
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z,由图可知,当直线y=2x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,为﹣1.
故选:
B.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
10.(2017•明山区校级学业考试)若a,b∈R,且ab>0,则+的最小值是( )
A.1B.C.2D.2
【分析】根据题意,首先由ab>0可得>0且>0,进而由基本不等式可得+≥2,计算可得答案.
【解答】解:
根据题意,若a,b∈R,且ab>0,
则>0且>0,
+≥2=2,
即+的最小值是2;
故选:
C.
【点评】本题考查基本不等式的性质,注意首先要满足基本不等式的使用条件.
11.(2017•资阳模拟)已知0<c<1,a>b>1,下列不等式成立的是( )
A.ca>cbB.ac<bcC.D.logac>logbc
【分析】根据题意,依次分析选项:
对于A、构造函数y=cx,由指数函数的性质分析可得A错误,对于B、构造函数y=xc,由幂函数的性质分析可得B错误,对于C、由作差法比较可得C错误,对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确,即
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