全国百强校顶尖名校湖南师大附中届高三第二次月考试题 理科数学Word文件下载.docx
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<
C<
180°
,则C=30°
.
3.已知随机变量X服从正态分布N(5,σ2),且P(X<
7)=0.8,则P(3<
X<
5)=(C)
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2
【解析】由题意,随机变量X服从正态分布N(5,σ2),所以正态曲线的对称轴为x=5,
因为P(X<
7)=0.8,所以P(X≥7)=0.2,根据正态分布曲线的对称性可知,所以P(3<
5)=0.5-0.2=0.3,故选C.
4.已知数列是首项为3,公差为d(d∈N*)的等差数列,若2019是该数列的一项,则公差d不可能是(D)
A.2B.3C.4D.5
【解析】由题设,an=3+(n-1)d,2019是该数列的一项,即2019=3+(n-1)d,所以n=+1,因为d∈N*,所以d是2016的约数,故d不可能是5,故选D.
5.公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出n的值为(参考数据:
≈1.732,sin15°
≈0.2588,sin7.5°
≈0.1305)(B)
A.12B.24C.48D.96
【解析】执行程序:
n=6,S=3sin60°
=,不满足条件S≥3.10;
n=12,S=6sin30°
=3,不满足条件S≥3.10;
n=24,S=12sin15°
≈12×
0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,退出循环.
输出n的值为24.故选B.
6.设变量x,y满足约束条件则z=|x-3y|的取值范围是(C)
A.[2,8]B.[4,8]C.[0,8]D.[8,+∞)
【解析】作出约束条件对应的可行域如图,z=|x-3y|=,其中表示可行域内的点(x,y)到直线x-3y=0的距离,由图可知,点A(-2,2)到直线x-3y=0的距离最大,最大为;
又距离最小显然为0,所以z=|x-3y|的取值范围为[0,8],故选C.
7.已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等,记展开式中系数最大的项为第k项,则k=(B)
A.6B.7C.6或7D.5或6
【解析】∵的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等,所以n=4+7=11,第r+1项系数为Tr+1=C(-1)r,r=6时Tr+1最大,故展开式中系数最大的项为第7项.
8.如图直角坐标系中,角α和角β的终边分别交单位圆于A,B两点,若B点的纵坐标为-,且满足S△OAB=,则sin的值为(A)
A.B.C.-D.-
【解析】由图知∠xOA=α,∠xOB=-β,且sinβ=-.
由于S△OAB=知∠AOB=,即α-β=,即α=β+.则
sin=sin=cosβ==.故选A.
9.已知某几何体的三视图如图,则该几何体的表面积是(A)
A.+3B.+3
C.D.
【解析】几何体为圆锥挖掉个圆台.其表面积为:
S表=π×
22+π×
12+×
×
4+×
2+×
2=+3.故选A.
10.将函数f(x)=ln(x+1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角θ,曲线C都仍然是一个函数的图像,则α的最大值为(D)
A.πB.C.D.
【解析】函数f(x)=ln(x+1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线都不经过y轴时,其图像都仍然是一个函数的图像.因为f′(x)=在[0,+∞)是减函数且0<
f′(x)≤1,当且仅当x=0时等号成立,故函数f(x)=ln(x+1)(x≥0)的图像的切线中,在x=0处切线的倾斜角最大,其值为.由此可知αmax=-=,故选D.
11.已知抛物线y2=4x的弦AB的中点的横坐标为3,则|AB|的最大值为(C)
A.4B.6C.8D.10
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,所以|AB|≤|AF|+|BF|=x1+x2+2=8,
当弦AB过焦点F(1,0)时取得最大值8.故选C.
12.在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BC的中点,点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点,且满足∠APD=∠MPC,则三棱锥P-BCD的体积最大值是(D)
A.36B.24C.18D.12
【解析】易知△APD∽△MPC,则==2,欲使三棱锥P-BCD的体积最大,只需高最大,通过坐标法得到动点P运动轨迹(一段圆弧),进而判断高的最大值2,所以(VP-BCD)max=×
2=12.
二、填空题,本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知x∈R,复数z1=1+xi,z2=2+i,若为纯虚数,则实数x的值为__-2__.
【解析】===+i为纯虚数,则=0,即x=-2.
14.M、N分别为双曲线-=1左、右支上的点,设v是平行于x轴的单位向量,则的最小值为__6__.
【解析】由向量数量积的定义,·
v即向量在向量v上的投影与v模长的乘积,故求的最小值,即求在x轴上的投影的绝对值的最小值,由双曲线的图像可知的最小值为6.
15.某单位周一至周五要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲连续值两天班的概率为____.
【解析】记甲连续值2天班为事件A,每人至少值一天班记为事件B.
则m(A)=4A=24,m(B)=CA=240,则P(A+B)==.
16.已知函数f(x)=,关于x的不等式f2(x)-af(x)>
0只有2个整数解,则实数a的取值范围是____.
【解析】作出函数f(x)的图像:
①若a>
0,由f2(x)-af(x)>
0,可得f(x)<
0或f(x)>
a,显然f(x)<
0没有整数解,则f(x)>
a有2个整数解,由图可知:
≤a<
ln2;
②若a<
-a或f(x)>
0,显然f(x)<
-a没有整数解,而f(x)>
0有无数多个整数解,不符题意,舍去;
③若a=0,由f2(x)-af(x)>
0,可得f(x)≠0,有无数多个整数解,不符题意,舍去.
综上可知:
a∈.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
60分.
17.(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=(λ+1)Sn+1(n∈N*,λ≠-2),且3a1,4a2,a3+13成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足anbn=log4an+1,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:
Tn<
【解析】
(1)因为an+1=(λ+1)Sn+1,①
所以当n≥2时,an=(λ+1)Sn-1+1,②
由①-②得an+1-an=(λ+1)an,即an+1=(λ+2)an(n≥2),2分
又因为λ≠-2,且a1=1,所以数列{an}是以1为首项,λ+2为公比的等比数列,
故a2=λ+2,a3=,
由题知8a2=3a1+a3+13,所以8=+16,
整理得λ2-4λ+4=0,解得λ=2,4分
所以an=4n-1.6分
(2)因为anbn=log4an+1,即4n-1·
bn=log44n,
所以bn=,8分
则Tn=1+++…++,③
Tn=++…++,④
③-④得Tn=1+++…+-=-,
Tn=-,11分
又n∈N*,所以Tn<
.12分
18.(本小题满分12分)
如图,α∩β=l,二面角α-l-β的大小为θ,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1,点B在l上的射影为B1.已知AB=2,AA1=1,BB1=.
(1)若θ=120°
,求直线AB与平面β所成角的正弦值;
(2)若θ=90°
,求二面角A1-AB-B1的余弦值.
【解析】
(1)如图,过点A作平面β的垂线交于点G,连接GB、GA1,
因为AG⊥β.则∠ABG是AB与β所成的角.
Rt△GA1A中,GA1A=60°
,AA1=1,∴AG=.
Rt△AGB中,AB=2,AG=,sin∠ABG=,
故AB与平面β所成的角的正弦值为.5分
(2)解法一:
∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°
,∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B中,A1B===.由AA1·
A1B=A1F·
AB得A1F===,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE==,
∴二面角A1-AB-B1的余弦值为cosθ==.12分
解法二:
如图,建立坐标系,则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t,即(x,y,z-1)=t(,1,-1),∴点F的坐标为(t,t,1-t).要使⊥,须·
=0,即(t,t,1-t)·
(,1,-1)=0,2t+t-(1-t)=0,解得t=,∴点F的坐标为,∴=.设E为AB1的中点,则点E的坐标为.∴=.
又·
=·
(,1,-1)=--=0,∴⊥,∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE=====,
∴二面角A1-AB-B1的余弦值为.12分
19.(本小题满分12分)
某种产品的质量以其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好,记其质量指标值为k,当k≥85时,产品为一级品;
当75≤k<
85时,产品为二级品,当70≤k<
75时,产品为三级品,现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做实验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面的试验结果:
(以下均视频率为概率)
A配方的频数分配表:
指标值分组
频数
10
30
40
20
B配方的频数分配表:
5
15
25
(1)若从B配方产品中有放回地随机抽取3件,记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C,求事件C发生的概率P(C);
(2)若两种新产品的利润率y与质量指标k满足如下关系:
y=其中0<
t<
,从长期来看,投资哪种配方的产品平均利润率较大?
(1)由题意知,从B配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为,则没有抽中二级品的概率为,所以P(C)=1-=.5分
(2)A配方产品的利润分布列为
y
t
5t2
p
0.6
0.4
所以E(y)A=0.6t+2t2,8分
B配方产品的利
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