学年高中数学人教A版浙江专版必修5第二章 23 等差数列的前n项和 Word版含答案Word格式.docx
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(3)在等差数列{an}中,当项数m为偶数2n时,则S偶-S奇=an+1( )
解析:
(1)正确.由前n项和的定义可知正确.
(2)错误.例如数列{an}中,Sn=n2+2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
又∵a1=S1=3,
∴a1不满足an=Sn-Sn-1=2n-1,故命题错误.
(3)错误.当项数m为偶数2n时,则S偶-S奇=nd.
答案:
(1)√
(2)×
(3)×
2.等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn等于( )
A.n B.n(n+1)
C.n(n-1)D.
选D 因为a1=1,d=1,所以Sn=n+×
1===,故选D.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6等于( )
A.16B.24
C.36D.48
选D 设等差数列{an}的公差为d,
由已知得4a1+d=20,
即4×
+d=20,解得d=3,
∴S6=6×
+×
3=3+45=48.
4.在等差数列{an}中,S4=2,S8=6,则S12=________.
由等差数列的性质,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8),S12=3(S8-S4)=12.
12
等差数列的前n项和的有关计算
[典例] 已知等差数列{an}.
(1)a1=,a15=-,Sn=-5,求d和n;
(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
[解]
(1)∵a15=+(15-1)d=-,∴d=-.
又Sn=na1+d=-5,
解得n=15或n=-4(舍).
(2)由已知,得S8===172,
解得a8=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值:
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)结合等差数列的性质解题:
等差数列的常用性质:
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,常与求和公式Sn=结合使用.
[活学活用]
设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a8=11,则S9等于( )
A.13 B.35
C.49D.63
选D ∵{an}为等差数列,∴a1+a9=a2+a8,
∴S9===63.
已知Sn求问题
[典例] 已知数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n+2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)判断{an}是否为等差数列?
[解]
(1)∵Sn=-2n2+n+2,
∴当n≥2时,
Sn-1=-2(n-1)2+(n-1)+2
=-2n2+5n-1,
∴an=Sn-Sn-1
=(-2n2+n+2)-(-2n2+5n-1)
=-4n+3.
又a1=S1=1,不满足an=-4n+3,
∴数列{an}的通项公式是an=
(2)由
(1)知,当n≥2时,
an+1-an=[-4(n+1)+3]-(-4n+3)=-4,
但a2-a1=-5-1=-6≠-4,
∴{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列.
(1)已知Sn求an,其方法是an=Sn-Sn-1(n≥2),这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错.
(2)在书写{an}的通项公式时,务必验证n=1是否满足an(n≥2)的情形.如果不满足,则通项公式只能用an=表示.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2,则( )
A.an=2n+1B.an=-2n+1
C.an=-2n-1D.an=2n-1
选B 当n=1时,a1=S1=-1;
n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+(n-1)2=-2n+1,此时满足a1=-1.综上可知an=-2n+1.
2.已知Sn是数列{an}的前n项和,根据条件求an.
(1)Sn=2n2+3n+2;
(2)Sn=3n-1.
解:
(1)当n=1时,a1=S1=7,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1,又a1=7不适合上式,
所以an=
(2)当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2×
3n-1,显然a1适合上式,
所以an=2×
3n-1(n∈N*).
等差数列的前n项和性质
[典例]
(1)等差数列前n项的和为30,前2n项的和为100,则它的前3n项的和为( )
A.130B.170
C.210D.260
(2)等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n等于________.
(3)已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=________.
[解析]
(1)利用等差数列的性质:
Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列.
所以Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn),
即30+(S3n-100)=2(100-30),
解得S3n=210.
(2)因为等差数列共有2n+1项,所以S奇-S偶=an+1=,即132-120=,解得n=10.
(3)由等差数列的性质,知
=====.
[答案]
(1)C
(2)10 (3)
等差数列的前n项和常用的性质
(1)等差数列的依次k项之和,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k…组成公差为k2d的等差数列.
(2)数列{an}是等差数列⇔Sn=an2+bn(a,b为常数)⇔数列为等差数列.
(3)若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d,
①当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,=;
②当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=an,=.
1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a11+a12+a13+a14=( )
A.18B.17
C.16D.15
选A 设{an}的公差为d,则a5+a6+a7+a8=S8-S4=12,(a5+a6+a7+a8)-S4=16d,解得d=,a11+a12+a13+a14=S4+40d=18.
2.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,其前n项和为Sn,则数列的前10项和为________.
因为an=2n+1,所以a1=3,
所以Sn==n2+2n,
所以=n+2,
所以是公差为1,首项为3的等差数列,
所以前10项和为3×
10+×
1=75.
75
等差数列的前n项和最值问题
[典例] 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求前n项和Sn的最大值.
[解] 由S17=S9,得
25×
17+d=25×
9+d,
解得d=-2,
[法一 公式法]
Sn=25n+×
(-2)=-(n-13)2+169.
由二次函数性质得,当n=13时,Sn有最大值169.
[法二 邻项变号法]
∵a1=25>0,由
得即12≤n≤13.
又n∈N*,∴当n=13时,Sn有最大值169.
求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略
(1)将Sn=na1+d=n2+n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决.
(2)邻项变号法:
当a1>
0,d<
0时,满足的项数n使Sn取最大值.
当a1<
0,d>
0时,满足的项数n使Sn取最小值.
已知{an}为等差数列,若<
-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n=( )
A.11B.17
C.19D.21
选C ∵Sn有最大值,∴d<
0,则a10>
a11,又<
-1,∴a11<
0<
a10,a10+a11<
0,S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)<
0,S19=19a10>
0,∴S19为最小正值.故选C.
层级一 学业水平达标
1.已知数列{an}的通项公式为an=2-3n,则{an}的前n项和Sn等于( )
A.-n2+ B.-n2-
C.n2+D.n2-
选A ∵an=2-3n,∴a1=2-3=-1,∴Sn==-n2+.
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a7>
0,a8<
0,则下列结论正确的是( )
A.S7<
S8B.S15<
S16
C.S13>
0D.S15>
选C 由等差数列的性质及求和公式得,S13==13a7>
0,S15==15a8<
0,故选C.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
A.63B.45
C.36D.27
选B ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×
36-3×
9=45.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5+5a9=0,且a9>
a5,则Sn取得最小值时n的值为( )
A.5B.6
C.7D.8
选B 由7a5+5a9=0,得=-.
又a9>
a5,所以d>
0,a1<
0.
因为函数y=x2+x的图象的对称轴为x=-=+=,取最接近的整数6,故Sn取得最小值时n的值为6.
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于( )
A.1B.-1
C.2D.
选A ==
==×
=1.
6.若等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,则该数列的公差为________.
数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=An2+Bn-A(n-1)2-B(n-1)=2An+B-A,当n=1时满足,所以d=2A.
2A
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m=________.
因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以数列是等差数列,所以+=,即+=0,解得m=4.
4
8.设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是________,项数是________.
设等差数列{an}的项数为2n+1,
S奇=a1+a3+…+a2n+1
=
=(n+1)an+1
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