定态微扰论和变分法Word文档下载推荐.docx
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1.1非简并态微扰论
(1)微扰对非简并态的影响
非简并态是指的每一个本征值只有一个本征函数与之对应,当加上微扰时,,所以,,即微扰的出现是能级和波函数发生变化。
(2)微扰的基本思想就是以逐步近似的精神求解薛定谔方程。
当
(4)
时,受微扰后的能级和波函数以的幂级数展开
(5)
与称为零级近似能量和零级近似波函数,是未受微扰时的本征能量和本征函数,也是我们求解微扰问题的必备基本条件,后面各项按的幂次称为一级修正、二级修正、…
把(4)、(5)式代入薛定谔方程
(1)中,得到以的幂次区分的一系列方程
(6)
(7)
(8)
求解以上方程便可得能量和波函数的一级修正、二级修正、…
(3)各级修正公式
零级近似:
由(6)式可得零级近似即为、.
一级修正:
首先将用展开
(9)
代表求和项中不包含项,这是因为附加在上仍是(6)式的解。
代入(7)式
将上式两边同乘以并对空间积分,注意及的正交归一性,得能量的一级修正为
(10)
能量的一级修正等于在态(零级近似)下的平均值。
将上式两边同乘以,并对空间积分,可得
定义(11)
(11)式微扰矩阵元,它是微扰计算的核心,也是微扰计算的难点,这样便有
(12)
代回(9)式,得波函数的一级修正为
(13)
二级修正:
设,代入(8)式,用同样的代算方法得能量的二级修正
(14)
最后写成
(15)
(4)说明:
①用微扰矩阵元求时,要“对号入座”,如
②要充分利用对称性,以减少计算量
③在有些问题中,,这时有必要计算能量的二级修正值;
若,一级修正已够用。
至于,一般求和项不可能全为零,故,一级修正即可。
(5)关于微扰论的适用范围
微扰公式成立的条件为
或(16)
两点说明:
一是要求微扰本身应很小,二是要求能级间隔较大,二者是相对的。
例题1设氢原子中价电子所受有效作用势为
其中,,。
试用微扰论公式计算基态能量。
解:
因为所以
由决定的基态能量和波函数为
基态能量的一级修正为
基态能量的一级近似为
例题2假设氢原子核不是点电荷,而是半径为的带电球壳,这时
计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正
因为,所以
故
为了减少积分运算中的麻烦,首先估计一下的数量级,
故
假设氢原子核不是点电荷,而是半径为的电荷均匀分布球,则
这时应为多少?
例题3一维线性谐振子受到微扰,,
试用微扰论方法求能级与波函数的修正值。
能量的一级修正
由关系式得
这里
当时,只有时矩阵元才不为零,所以
此问题可通过对的变换精确求解
能量
例题4二维空间哈密顿算符在能量表象中的矩阵表示为
其中为实数。
(1)用微扰公式求能量至二级修正;
(2)求能量精确解。
(1)首先看的矩阵元
即在自身表象为对角矩阵,本问题可写为
于是可得微扰矩阵元
所以
同理可得
(2)设的本征矢为,则本征方程为
即有
、有非零解的条件是
由此可得关于本征值的二次方程
故本征值为
将根号整理展开得
所以
1.2简并态微扰论
简并态下,微扰的作用可能使能级发生分裂,即微扰可使简并消除或部分消除
(1)零级近似
设的某个能级是度简并的
(17)
当微扰加入后,薛定谔方程变为
(18)
即便只考虑零级近似,波函数也不一定是原来的,而可能是那些简并本征态的线性组合
(19)
这同非简并态不同,确定零级近似波函数是非常重要的一步
(2)能量的一级修正将(19)代入(7)式得
以左乘上式两边并对空间积分,并利用的厄米性及的正交归一性,可得(由5.1—12式)
(20)
式中(21)
注意,上述矩阵元是有个简并本征态构成的,(20)式有非零解的条件是
(22)
久期方程是能量一级修正值的次代数方程式,原则上可解出个根:
所以简并情况下能级的一级近似为
(23)
若个根各不相等,则简并能级分裂成个,简并完全消除;
若的个根中仍有重根,则简并只是部分消除。
(3)零级近似波函数
从久期方程解出后,把每一个分别代入方程组(20)中,解出(一般只能解出之间的比例,要归一化后才能确定),再把代入(19)中,即可得到与相对应的零级近似波函数。
对应于个不等的,这样的方程组要解个。
若有,即非对角元素全为零,显见,这样的零级近似波函数只能是,这种情况可按非简并处理。
氢原子的一级斯塔克效应是一个重要的典型例子,现举例一特殊情况。
例题5一个平面转子可在平面内转动,设其转动惯量为,电偶极矩为。
求
(1)转子的本征值和本征函数;
(2)若方向加一均匀弱电场,求能级和波函数。
(1)自由转子动能为,所以
解得
可见,除基态外,所有能级都是二度简并的,代表逆时针的正向转动态;
代表顺时针的反向转动态。
(2)外加电场,转子得到附加势能作为微扰
对于的两个简并态和,简并微扰矩阵元都为零
故不构成新的零级近似波函数,与即为零级近似波函数。
本问题即可用非简并微扰论处理。
因为
根据可知不为零的矩阵元只能是
所以
(除外)情况见钱伯初详解
波函数
2变分法
量子力学中,基态的计算具有特殊的重要性,变分法主要解决基态能量与波函数问题。
(1)问题:
不管的本征方程是否能严格求解,原则上总是存在一组本征值和本征函数,令其本征值为分离谱,则
(24)
并且(25)
(2)先不去讨论的本征函数,而假定一任意波函数,则应有
(26)
在这个假设态中,体系能量的平均值
(27)
任意态中的平均值与的本征值联系起来了。
(3)提示:
考虑的基态能量,,则应有
即(28)
可见,对任意波函数算出来的的平均值总是大于体系的基态能量,只有恰好是体系基态波函数时,的平均值才等于基态能量。
这无疑在提示我们:
如何恰当地选择波函数,使其计算出的的平均值达到最小值,那末这个波函数就越接近基态波函数,这个平均值就越接近基态能量。
(4)实际计算(极值法)
①选择含有参量的尝试波函数,代入计算的平均值公式,算出含有参量的能量平均值;
②利用,得到使取最小值的值;
③把代入中,即得代入,即得.
例题6若设作为波函数,以为参量,用变分法求氢原子基态能量。
解:
首先将归一化,利用
得
由(对基态只有分量作用)
得
所以
式中,令,可得
所以
若设请大家计算基态能量(提示:
)
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