人教版高中数学必修414《正弦函数余弦函数的图象》教学设计.docx
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人教版高中数学必修414《正弦函数余弦函数的图象》教学设计
正弦函数、余弦函数的图象(李蓉)
一、教学目标
(一)学习目标
1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数图象.
2.会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数简图.
3.掌握作正弦函数和余弦函数图象的特征,能利用其解决三角不等式等问题.
(二)学习重点
正弦函数和余弦函数图像的作法.
(三)学习难点
1.用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.
2.运用图象变换法作余弦函数图象.
二、教学设计
(一)课前设计
1.预习任务
(1)读一读:
阅读教材第30页到32页.
(2)想一想:
用三角函数线如何画正弦函数的图象.
(3)画一画:
三角函数线.
2.预习自测
(1)给定角,画出它的的正弦线、余弦线.
(2)任意给定一个实数,有唯一确定的值(或)与之对应,由这个对应法则所确定的函数(或)叫作正弦函数(或余弦函数),其定义域为.
(3)用五点法作图,在正弦函数的图象上,起关键作用的5个点为:
、_____、______、_______、_____.
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)正弦线、余弦线:
设任意角的终边与单位圆相交于点,过作轴的垂线,垂足为,则有向线段PM叫做角的正弦线,有向线段OM叫做角的余弦线.
(2)函数图像的画法(描点法):
列表、描点、连线.
【设计意图】回顾旧知,让探究始于思维邻近发展区.
2.问题探究
探究一如何得到正弦函数的图象?
学生方法:
列表描点法.(步骤:
列表,描点,连线)
如果我们仍用描点法来画正弦函数图象,由于对于角的每一个取值,在计算相应的函数值时,都是利用计算机或数学用表得来的,大多是近似值,因此不易描出对应点的准确位置,画出的图象不够准确.为此我们应考虑其他方法来作正弦函数的图象.
【设计意图】利用已有知识经验解决新问题.
(一)正弦函数的图象
(1)几何法:
用单位圆中的正弦线----几何画法;
第一步:
列表.在平面内建立一平面直角坐标系,然后在直角坐标系的轴上任意取一点,以为圆心作单位圆,从⊙与轴的交点起把⊙分成12等份(份数宜取6的倍数,份数越多,画出的图象越精确).过⊙上的各分点作轴的垂线,可以得到对应于、、、、…等角的正弦线(例如有向线段对应于角的正弦线).
第二步:
描点.把轴上从0到这一段(≈6.28)分成12等份(例如,从原点起向右的第四个点,就是对应于角的点),把角的正弦线向右平移,使它的起点与轴上的点重合(例如,把正弦线向右平移,使点与轴上的点重合).
第三步:
连线.把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来.
我们看到的这段光滑曲线就是函数在上的函数.
因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数在上的图象与函数在上的图象的形状完全一样,只是位置不同,于是我们只要将函数,的图象向左、右平行移动(每次个单位长度),就可以得到正弦函数在上的图象.
这时,我们看到的这支曲线就是正弦函数在整个定义域上的图象,我们也可把它称为正弦曲线.
【设计意图】让学生体会原有的描点法的优缺点:
精确度较高但步骤繁琐.
思考:
用前面的方法来作图象,虽然比较精确,但不太实用,我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢?
(2)用五点法作正弦函数的简图
在函数的图象上,起着关键作用的点只有以下五个:
事实上,描出这五个点后,函数的图象的形状就基本上确定了.因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来,就可得到函数的简图.今后,我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.
【设计意图】让学生通过前面作的正弦函数的图象,捕捉这种周期函数图象的关键信息,归纳简图作法的关键节点与图象大致走势,培养学生的图形直观,归纳总结的能力.
探究二如何得到余弦函数的图象?
(二)余弦函数的图象
●活动①:
你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?
(1)图象变换法:
利用图象平移,,将正弦函数的图象向左平移个单位即可得到余弦函数的图象.
由诱导公式可知:
余弦函数与函数是同一个函数.
而的图象可通过将正弦曲线向左平行移动个单位长度而得到.
现在看到的曲线也就是余弦函数在上的图象,即余弦曲线.
(2)五点法:
●活动②:
类似于正弦函数图象的5个关键点,请找出余弦函数的5个关键点,并填入下表,然后作出的简图
同样,可发现在函数的图象上,起着关键作用的点是以下五个:
与画函数的简图类似,通过这五个点,可以画出函数的简图.
●活动③巩固基础,检查反馈
例1用“五点法”作出下列函数的简图
(1)
(2)
【知识点】五点法作三角函数的图象
【数学思想】数形结合
【思路点拨】在上找出五个关键点,用光滑的曲线连接即可.
【解题过程】
(1)列表:
0
0
1
0
-1
0
1
3
1
-1
1
在直角坐标系中描出五点,然后用光滑曲线顺次连接起来,就得到的图象.
(2)列表:
0
1
0
-1
0
1
3
2
1
2
3
描点连线,如图
【设计意图】
(1)巩固新知;
(2)从层次上逐层深化、拾级而上,为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础.
同类训练
用五点法作函数的简图.
【知识点】五点法作的函数图像
【数学思想】数形结合,函数复合
【思路点拨】令,,,,可得
【解题过程】
(1)列表:
0
2
0
-2
0
2
(2)描点连线
【设计意图】在例1的基础上做变式拓展,培养整体思想与复合函数的思想.
●活动4强化提升、灵活应用
例3画出的简图,并根据图像写出时x的集合.
【知识点】三角函数线和三角函数图像的应用
【数学思想】数形结合
【思路点拨】利用正弦函数与余弦函数图象或单位圆寻求满足条件的取值.
【解题过程】利用“五点法”作出的简图,过点作轴的平行线,在上直线与正弦曲线交于,两点.在内,满足时的集合为.因此,当时,若,则的集合为
【答案】
【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题,在这一过程中巩固新知,感受数形结合的魅力.
例3判断方程根的个数.
【知识点】三角函数图像的应用
【数学思想】函数方程与数形结合
【思路点拨】当求解的方程不是普通方程时,经常采用数形结合法求解,即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.
【解题过程】设,在同一直角坐标系中画出的图象,如图:
由图可知,的图象有三个交点,故方程有三个根.
【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题,在这一过程中巩固新知,感受数形结合的魅力.
3.课堂总结
知识梳理
(1)正弦函数图象的几何作图法.
(2)正弦函数图象的五点作图法(注意五点的选取).
(3)由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象.
重难点归纳
(1)正、余弦函数图象的简单应用.(难点)
(2)正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点)
(三)课后作业
基础型自主突破
1.下列叙述正确的是()
①的图象关于点成中心对称;
②的图象关于直线成轴对称;
③正、余弦函数的图象不超过直线所夹的范围.
A.0B.1个C.2个D.3个
【知识点】正弦函数、余弦函数的图象的认识.
【解题过程】分别画出函数和的图象,由图象观察可知①②③均正确.
【思路点拨】分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可.
【答案】D.
2.用五点法作函数的图象时,首先应指出的五点的横坐标可以是()
A.;B.;
C.;D..
【知识点】五点法作图的应用
【解题过程】与作函数的图象所取的五点的横坐标一样.
【思路点拨】结合五点法作函数的图象即可解答.
【答案】A.
3.将余弦函数的图象向右至少平移个单位,可以得到函数的图象,则=()
A.B.C.D.
【知识点】图象变换的应用
【解题过程】根据诱导公式得,故欲得到的图象,需将的图象向右至少平移个单位长度.
【思路点拨】利用诱导公式或函数图象左右平移方法即可解答
【答案】C.
4.函数的图象与直线的交点有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【知识点】正弦函数图象的应用
【数学思想】数学结合
【解题过程】在内使的角所以的图象与直线有2个交点.
【知识点】正弦函数的图象应用.
【数学思想】数形结合思想
【解题过程】画出的草图如下:
【思路点拨】画出草图解不等式.
【答案】C
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