西城区高三上期末数学理科Word文件下载.docx
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不超过4千米的里程收费12元;
超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分,若其小于0.5千米则不收费,若其大于或等于0.5千米则按1千米收费);
当车程超过4千米时,另收燃油附加费1元.
相应系统收费的程序框图如图所示,其中x(单位:
千米)为行驶里程,y(单位:
元)为所收费用,用[x]表示不大于x的最大整数,则图中①处应填( )
8.(5分)如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=2AE,CF=2BF.如果对于常数λ,在正方形ABCD的四条边上,有且只有6个不同的点P使得成立,那么λ的取值范围是( )
A.(0,7)B.(4,7)C.(0,4)D.(﹣5,16)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)已知复数z满足z(1+i)=2﹣4i,那么z= .
10.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若A=B,a=3,c=2,则cosC= .
11.(5分)双曲线C:
的渐近线方程为 ;
设F1,F2为双曲线C的左、右焦点,P为C上一点,且|PF1|=4,则|PF2|= .
12.(5分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°
,AB=3,BC=4,点O为BC的中点,以BC为直径的半圆与AC,AO分别相交于点M,N,则AN= ;
= .
13.(5分)现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多2人,但其中甲教师和乙教师均不能单独带队,则不同的带队方案有 种.(用数字作答)
14.(5分)某食品的保鲜时间t(单位:
小时)与储藏温度x(单位:
℃)满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时.
已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:
①该食品在6℃的保鲜时间是8小时;
②当x∈[﹣6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少;
③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;
④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间.
其中,所有正确结论的序号是 .
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)设α>0,若函数g(x)=f(x+α)为奇函数,求α的最小值.
16.(13分)甲、乙两人进行射击比赛,各射击4局,每局射击10次,射击命中目标得1分,未命中目标得0分.两人4局的得分情况如下:
甲
6
9
乙
7
x
y
(Ⅰ)若从甲的4局比赛中,随机选取2局,求这2局的得分恰好相等的概率;
(Ⅱ)如果x=y=7,从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局,记这2局的得分和为X,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)在4局比赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,写出x的所有可能取值.(结论不要求证明)
17.(14分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=135°
,侧面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°
,AB=AC=PA=2,E,F分别为BC,AD的中点,点M在线段PD上.
(Ⅰ)求证:
EF⊥平面PAC;
(Ⅱ)若M为PD的中点,求证:
ME∥平面PAB;
(Ⅲ)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等,求的值.
18.(13分)已知函数f(x)=x2﹣1,函数g(x)=2tlnx,其中t≤1.
(Ⅰ)如果函数f(x)与g(x)在x=1处的切线均为l,求切线l的方程及t的值;
(Ⅱ)如果曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点,求t的取值范围.
19.(14分)已知椭圆C:
的离心率为,点在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点O为圆心的圆,满足此圆与l相交两点P1,P2(两点均不在坐标轴上),且使得直线OP1,OP2的斜率之积为定值?
若存在,求此圆的方程;
若不存在,说明理由.
20.(13分)在数字1,2,…,n(n≥2)的任意一个排列A:
a1,a2,…,an中,如果对于i,j∈N*,i<j,有ai>aj,那么就称(ai,aj)为一个逆序对.记排列A中逆序对的个数为S(A).
如n=4时,在排列B:
3,2,4,1中,逆序对有(3,2),(3,1),(2,1),(4,1),则S(B)=4.
(Ⅰ)设排列C:
3,5,6,4,1,2,写出S(C)的值;
(Ⅱ)对于数字1,2,…,n的一切排列A,求所有S(A)的算术平均值;
(Ⅲ)如果把排列A:
a1,a2,…,an中两个数字ai,aj(i<j)交换位置,而其余数字的位置保持不变,那么就得到一个新的排列A'
:
b1,b2,…,bn,求证:
S(A)+S(A'
)为奇数.
参考答案与试题解析
1.【解答】∵A={x|x>1},集合B={a+2},若A∩B=∅,
∴a+2≤1,即a≤﹣1,
则实数a的范围为(﹣∞,﹣1],
故选:
A.
2.【解答】y=x2+1是偶函数,值域为:
[1,+∞).
y=ex﹣e﹣x是奇函数.
y=lg|x|是偶函数,值域为:
R.
的值域:
[0,+∞).
C
3.【解答】命题p:
“若,则”是假命题,
命题q:
“若a>b,则”如:
a=1,b=﹣1,
故命题q是假命题,
故p∨q是假命题,
B.
4.【解答】若数列{an}是等比数列,根据等比数列的性质得:
,
反之,若“”,当an=0,此式也成立,但数列{an}不是等比数列,
∴“”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件,
故选B.
5.【解答】由已知中的三视图可得:
该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱,
其底面面积为:
×
(1+2)×
2=3,
底面周长为:
2+2+1+=5+,
高为:
2,
故四棱柱的表面积S=2×
3+(5+)×
2=,
B
6.【解答】由约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(1,2),
联立,解得B(m﹣1,m),
化z=x+3y,得.
由图可知,当直线过A时,z有最大值为7,
当直线过B时,z有最小值为4m﹣1,
由题意,7﹣(4m﹣1)=7,解得:
m=.
C.
7.【解答】由已知中,超过4千米的里程按每千米2元收费(对于其中不足千米的部分,若其小于0.5千米则不收费,若其大于或等于0.5千米则按1千米收费);
可得:
当x>4时,所收费用y=12+[x﹣4+]×
2+1=,
D
8.【解答】以DC为x轴,以DA为y轴建立平面直角坐标系,如图,则E(0,4),F(6,4).
(1)若P在CD上,设P(x,0),0≤x≤6.∴=(﹣x,4),=(6﹣x,4).
∴=x2﹣6x+16,∵x∈[0,6],∴7≤≤16.
∴当λ=7时有一解,当7<λ≤16时有两解.
(2)若P在AD上,设P(0,y),0<y≤6.∴=(0,4﹣y),=(6,4﹣y).
∴=(4﹣y)2=y2﹣8y+16,∵0<y≤6,∴0≤<16.
∴当λ=0或4<λ<16,有一解,当0<λ≤4时有两解.
(3)若P在AB上,设P(x,6),0<x≤6.=(﹣x,﹣2),=(6﹣x,﹣2).
∴=x2﹣6x+4,∵0<x≤6.∴﹣5≤≤4.
∴当λ=﹣5或λ=4时有一解,当﹣5<λ<4时有两解.
(4)若P在BC上,设P(6,y),0<y<6,∴=(﹣6,4﹣y),=(0,4﹣y).
∴=(4﹣y)2=y2﹣8y+16,∵0<y<6,∴0≤<16.
∴当λ=0或4≤λ<16时有一解,当0<λ<4时有两解.
综上,∴0<λ<4.
9.【解答】由z(1+i)=2﹣4i,得
.
故答案为:
﹣1﹣3i.
10.【解答】∵A=B,a=3,c=2,可得:
b=3,
∴cosC===.
11.【解答】双曲线C:
中a=4,b=2,则渐近线方程为,
由题意P在双曲线的左支上,则|PF2|﹣|PF1|=2a=8,
∴|PF2|=12
,12.
12.【解答】由题意,AO==,
由切割线定理可得9=AN•(+2),
∴AN=.
AC==5,
由切割线定理可得9=AM•5,∴AM=,
∴MC=,
∴=.
,.
13.【解答】第一类,把甲乙看做一个复合元素,和另外的3人分配到3个小组中(2,1,1),C42A33=36种,
第二类,先把另外的3人分配到3个小组,再把甲乙分配到其中2个小组,A33C32=18种,
根据分类计数原理可得,共有36+18=54种,
54.
14.【解答】∵食品的保鲜时间t(单位:
∴24k+6=16,即4k+6=4,解得:
k=﹣,
∴,
当x=6时,t=8,故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时,正确;
②当x∈[﹣6,0]时,保鲜时间恒为64小时,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随看x增大而逐渐减少,故错误;
③到了此日10时,温度超过8度,此时保鲜时间不超过4小时,故到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故错误;
④到了此日14时,甲所购买的食品已然过了保鲜时间,故正确,
故正确的结论的序号为:
①④,
①④.
15.【解答】
(Ⅰ)解:
===,
所以函数f(x)的最小正周期.
由,k∈Z,
得,
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(Ⅱ)解:
由题意,得,
因为函数g(x)为奇函数,且x∈R,所以g(0)=0,即,
所以,k∈Z,解得,k∈Z,验证知其符合题意.
又因为α>0,所以α的最小值为.
16.【解答】
记“从甲的4局比赛中,随机选取2局,且这2局的得分恰好相等”为事件A,…(1分)
所以从甲的4局比赛
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