人教版九年级数学上册二次函数易错题Word版 含答案Word格式文档下载.docx
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(1)∵抛物线y=mx2﹣3mx+n(m≠0)与x轴交于点C(﹣1,0)与y轴交于点B(0,3),
则有
,解得
,
∴抛物线
令y=0,得到
=0,
解得:
x=4或﹣1,
∴A(4,0),B(0,3),
设直线AB解析式为y=kx+b,则
解得
∴直线AB解析式为y=
x+3.
(2)如图1中,设P(m,
),则E(m,0),
∵PM⊥AB,PE⊥OA,
∴∠PMN=∠AEN,
∵∠PNM=∠ANE,
∴△PNM∽△ANE,
∵△PMN的面积为S1,△AEN的面积为S2,
∴
∵NE∥OB,
∴AN=
(4﹣m),
∵抛物线解析式为y=
∴PN=
﹣(
m+3)=
m2+3m,
解得m=2或4(舍弃),
∴m=2,
∴P(2,
).
(3)如图2中,在y轴上取一点M′使得OM′=
,连接AM′,在AM′上取一点E′使得OE′=OE.
∵OE′=2,OM′•OB=
×
3=4,
∴OE′2=OM′•OB,
∵∠BOE′=∠M′OE′,
∴△M′OE′∽△E′OB,
=
∴M′E′=
BE′,
∴AE′+
BE′=AE′+E′M′=AM′,此时AE′+
BE′最小(两点间线段最短,A、M′、E′共线时),
最小值=AM′=
.
【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识,解题的关键是构造相似三角形,找到线段AM′就是AE′+
BE′的最小值,属于中考压轴题.
2.如图,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的坐标为(4,3)
(1)求该二次函数所对应的函数解析式;
(2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点,PE//x轴,PF//y轴,求线段EF的最大值;
(3)如图2,点M是线段CD上的一个动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点N,当△CBN是直角三角形时,请直接写出所有满足条件的点M的坐标.
(1)y=x2﹣4x+3;
(2)EF的最大值为
;
(3)M点坐标为可以为(2,3),(
,3),(
,3).
(1)根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上,设二次函数解析式的交点式,将D点坐标代入求出a的值,最后将二次函数的交点式转化成一般式形式.
(2)由题意可知点P在二次函数图象上,坐标为(p,p2﹣4p+3).又因为PF//y轴,点F在直线BC上,P的坐标为(p,﹣p+3),在Rt△FPE中,可得FE=
PF,用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值.
(3)根据题意求△CBN是直角三角形,分为∠CBN=90°
和∠CNB=90°
两类情况计算,利用三角形相似知识进行分析求解.
(1)设二次函数的解析式为y=a(x﹣b)(x﹣c),
∵y=ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为(1,0)和(3,0),
∴二次函数解析式:
y=a(x﹣1)(x﹣3).
又∵点D(4,3)在二次函数上,
∴(4﹣3)×
(4﹣1)a=3,
∴解得:
a=1.
∴二次函数的解析式:
y=(x﹣1)(x﹣3),即y=x2﹣4x+3.
(2)如图1所示.
因点P在二次函数图象上,设P(p,p2﹣4p+3).
∵y=x2﹣4x+3与y轴相交于点C,
∴点C的坐标为(0,3).
又∵点B的坐标为B(3,0),
∴OB=OC
∴△COB为等腰直角三角形.
又∵PF//y轴,PE//x轴,
∴△PEF为等腰直角三角形.
∴EF=
PF.
设一次函数的lBC的表达式为y=kx+b,
又∵B(3,0)和C(0,3)在直线BC上,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.
∴yF=﹣p+3.
FP=﹣p+3﹣(p2﹣4p+3)=﹣p2+3p.
∴EF=﹣
p2+3
p.
∴线段EF的最大值为,EFmax=
(3)①如图2所示:
若∠CNB=90°
时,点N在抛物线上,作MN//y轴,l//x轴交y轴于点E,
BF⊥l交l于点F.
设点N的坐标为(m,m2﹣4m+3),则点M的坐标为(m,3),
∵C、D两点的坐标为(0,3)和(4,3),
∴CD∥x轴.
又∵∠CNE=∠NBF,∠CEN=∠NFB=90°
∴△CNE∽△NBF.
又∵CE=﹣m2+4m,NE=m;
NF=3﹣m,BF=﹣m2+4m﹣3,
化简得:
m2﹣5m+5=0.
m1=
,m2=
∴M点坐标为(
,3)或(
,3)
②如图3所示:
当∠CBN=90°
时,过B作BG⊥CD,
∵∠NBF=∠CBG,∠NFB=∠BGC=90°
∴△BFN∽△CGB.
∵△BFN为等腰直角三角形,
∴BF=FN,
∴0﹣(m2﹣4m+3)=3﹣m.
∴化简得,m2﹣5m+6=0.
解得,m=2或m=3(舍去)
∴M点坐标为,(2,3).
综上所述,满足题意的M点坐标为可以为(2,3),(
本题考查待定系数法求解函数解析式,二次函数和三角函数求值,三角形相似等相关知识点;
同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系.
3.如图,抛物线
与
轴交于
两点(点
位于点
的左侧),与
轴的负半轴交于点
求点
的坐标.
若
的面积为
①求这条抛物线相应的函数解析式.
②在拋物线上是否存在一点
使得
?
若存在,请求出点
的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)(1,0);
(2)①
②存在,点
的坐标为
或
(1)直接令
,即可求出点B的坐标;
(2)①令x=0,求出点C坐标为(0,a),再由△ABC的面积得到
(1−a)•(−a)=6即可求a的值,即可得到解析式;
②当点P在x轴上方时,直线OP的函数表达式为y=3x,则直线与抛物线的交点为P;
当点P在x轴下方时,直线OP的函数表达式为y=-3x,则直线与抛物线的交点为P;
分别求出点P的坐标即可.
当
时,
点
的左侧,与
坐标为
由
可得,点
,点
设直线
的解析式为
则
当点
在
轴上方时,直线
直线
的函数解析式
为
(舍去),
点的
轴下方时,直线
与直线
关于
轴对称,
则直线
的函数解析式为
综上可得,点
本题考查二次函数的图象及性质,一次函数的性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,结合数形结合的思想和分类讨论的思想解题是解本题的关键.
4.已知函数
(
为常数).
(1)若点
在此函数图象上,求
的值.
(2)当
①求此函数图象与
轴的交点的横坐标.
②若此函数图象与直线
有三个交点,求
的取值范围.
(3)已知矩形
的四个顶点分别为点
,若此函数图象与矩形
无交点,直接写出
(1)
②
(1)本题根据点
横坐标大于零,故将点代入对应解析式即可求得
的取值.
(2)①本题将
代入解析式,分别令两个函数解析式y值为零即可求得函数与x轴交点横坐标;
②本题可求得分段函数具体解析式,继而求得顶点坐标,最后平移直线
观察其与图像交点,即可得到答案.
(3)本题可根据对称轴所在的位置分三种情况讨论,第一种为当
,将
函数值与2比大小,将
与0比大小;
第二种为当
函数值与0比大小,且该函数与y轴的交点和0比大小,
函数值与2比大小,且该函数与y轴交点与2比大小;
第三种为
与y轴交点与2比大小,
与y轴交点与0比大小.
(1)将
代入
中,得
时,函数为
①令
.(不合题意,舍去)
令
综上,
②对于函数
,其图象开口向上,顶点为
对于函数
,其图象开口向下,顶点为
,与
轴交于点
综上,若此函数图象与直线
有三个交点,则需满足
对称轴为
①当
时,若使得
图像与矩形ABCD无交点,需满足当
,解不等式得
,在此基础上若使
综上可得:
②当
图像与矩形ABCD无交点,需满足
得
在此基础上若使
求得
综上:
③当
时,若使函数图像与矩形ABCD无交点,需满足
且
求解上述不等式并可得公共解集为:
若使得函数与矩形ABCD无交点,则
本题考查二次函数综合,求解函数解析式常用待定系数法,函数含参数讨论时,往往需要分类讨论,分类讨论时需要先选取特殊情况以用来总结规律,继而将规律一般化求解题目.
5.如图1,抛物线
交
轴于
(1)直接写出抛物线
的解析式______________.
(2)如图1,
轴上两动点
满足:
.若
左侧)为线段
上的两个动点,且满足:
点和
点关于直线
对称.过
作
轴交
于
,过
,连接
.求
的最大值(用含
的代数式表示).
(3)如图2,将抛物线
向下平移
个单位长度得到抛物线
对称轴左侧的抛物线上有一点
,其横坐标为
.以
为直径作
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