广东省佛山市石门高级中学学年高二下学期第一次统考数学理试题Word格式.docx

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B．

D．

7．定积分

的值为（）

8．设a＝

，b＝

－

，c＝

，则a，b，c的大小关系为（）

A．a>

b>

cB．a>

c>

bC．c>

aD．b>

a>

c

9．已知函数

的导函数

且满足

＝（　　）

C．1D．

10．已知函数

，其中

零点的个数是（）

A．0个或1个B．1个或2个C．2个D．3个

11．函数

（

为自然对数的底数）的图象可能是（）

12．定义域为R的可导函数

的导函数为

，满足

，且

，则不等式

的解集为（）

二、填空题

13．已知

________.

14．

________.

15．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第10个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________.

16．若

对一切

恒成立，则a的取值范围为________.

三、解答题

17．已知函数

，求：

（1）函数

的图象在点（0，-2）处的切线方程；

（2）

的单调递减区间.

18．已知函数

在

和

上为增函数，在

上为减函数.

（1）求

的解析式；

（2）求

在R上的极值.

19．（本小题13分）已知函数

为自然对数的底数）．

（1）若

，求函数

的单调区间；

（2）是否存在实数

，使函数

上是单调增函数？

若存在，求出

的值;

若不存在，请说明理由．

20．某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：

销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；

而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：

（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；

（2）试问：

当实际销售价为多少元时，总利润最大.

21．已知

，（

），

，其中e是自然常数.

的单调性、极值；

（2）求证：

.

22．已知函数

（1）若函数

上是增函数，求实数

的取值范围；

（2）若函数

上的最小值为3，求实数

的值.

参考答案

1．C

【分析】

化简得

，利用虚部的定义即可得解.

【详解】

由题意

，所以此复数的虚部为-4.

故选：

C.

【点睛】

本题考查了复数的概念和乘法运算，属于基础题.

2．C

【解析】

由

，得

∴

故选C

3．C

根据题意结合复合函数的求导法则直接运算即可得解.

，

本题考查了复合函数的求导，属于基础题.

4．D

由题意结合纯虚数的概念可得

，即可得解.

复数

为纯虚数，

，解得

D.

本题考查了根据复数的类型求参数，属于基础题.

5．D

将

代入等式后，化简即可得解.

代入等式

可得

即

本题考查了数学归纳法的相关问题，属于基础题.

6．D

利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论．

解：

数列

是等差数列，则

也为等差数列

正项数列

是等比数列，设首项为

，公比为

则

是等比数列

．

本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．

7．C

先求出函数

的原函数，再根据微积分基本定理可直接得解.

本题考查了定积分的计算和微积分基本定理的应用，属于基础题.

8．B

利用分子有理化的方法可比较大小.

因为

所以

B.

本题考查根式大小的比较，其中分子有理化的应用是关键，是基础题.

9．B

对函数进行求导，然后把

代入到导函数中，得到一个方程，进行求解．

对函数进行求导，得

把

代入得，

直接可求得

本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题．本题值得注意的是

是一个实数．

10．B

先求函数的导数

，判断函数的单调性和极值，由极值的符号即可得解.

当

时，

；

的单调增区间为

，单调减区间为

时取极大值

时取极小值

又

函数

的零点的个数为1个或2个.

本题考查了导数的应用，考查了利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.

11．A

试题解析：

函数为

偶函数，图象关于

轴对称，排除B、D，

舍去C，选A.

考点：

函数的奇偶性、单调性，函数的图象.

12．A

构造函数

，由题意得

即函数

上单调递减，再根据题意得

令

上单调递减，

A.

本题考查了导数的应用，考查了根据题意构造新函数的能力，属于中档题.

13．

根据导数运算的乘法运算法则直接求解即可.

故答案为：

本题考查了导数运算的乘法运算法则的应用，属于基础题.

，变形可知其轨迹为以

为圆心，半径为2的半圆，再根据积分的几何意义即可得解.

，变形得

可知

轨迹为以

为圆心，半径为2的半圆，如图，

由积分的几何意义得

即为函数

的图象与

轴围成的图形的面积，则

本题考查了利用积分的几何意义求积分的值，属于基础题.

15．

观察给出的三个图形，总结规律，可得组成第n个图形的火柴的根数为

个，即可得解.

由题意第1个图形由8根火柴组成，

第2个图形由

根火柴组成，

第3个图形由

根据规律，组成第n个图形的火柴的根数为

个，

时，图形需要火柴棒的根数为

本题考查了归纳推理的应用，属于基础题.

16．

由题意可得

恒成立，设

，求得导数和单调性、极值和最值，即有a小于最小值．

恒成立，

设

递增；

递减，

处

取得极小值，且为最小值4，

本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和导数的运用，考查运算能力，属于中档题．

17．

（1）9x﹣y﹣2＝0．

（2）f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．

（1）求出f′（x）＝﹣3x2+6x+9，f′（0）＝9，f（0）＝﹣2，由此利用导数的几何意义能求出函数y＝f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程．

（2）由f′（x）＝﹣3x2+6x+9＜0，能求出f（x）的单调递减区间．

（1）∵f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣2，

∴f′（x）＝﹣3x2+6x+9，

f′（0）＝9，f（0）＝﹣2，

∴函数y＝f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为：

y+2＝9x，即9x﹣y﹣2＝0．

（2）∵f（x）＝﹣x3+3x2+9x﹣2，

由f′（x）＝﹣3x2+6x+9＜0，

解得x＜﹣1或x＞3．

∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．

本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的减区间的求法，考查导数的几何意义、导数性质等基础知识，是中档题．

18．

（1）

极大值

极小值

（1）由题意得

与

是方程

的两个根，即

，解方程组即可得解；

（2）由题目给出的函数单调性结合极值的概念可得

是

的极大值点，

的极小值点，即可得解.

（1）

由题意得

的两个根，

（2）由已知得

的极小值点，

可知，函数

有且仅有两个极值点.

本题考查了的导数的应用，考查了极值的概念，属于基础题.

19．考点：

（1）增区间为

，减区间为

试题分析：

（1）首先求导，然后根据

>

0或

<

0求得函数

的单调增区间或减区间；

（2）由

0在R上恒成立，求出满足条件的a即可.

（1）当a=-1时，

，由

0解得x>

1或x<

-2,由

0解得-2<

x<

1,所以

的增区间为

对于

=

1.函数的导数；

2.导数的性质；

3.不等式恒成立.

20．

（1）

;

（2）当

时195.

本试题主要是考查了函数在实际生活中的运用．

（1）由题可知

得到函数单调性，求解函数的解析式．

（2）由

（1）得：

求解导数，判定单调性得到最值．

（1）依题意得：

为增函数

为减函数

综上知：

时，总利润最大,最大值为195

请在此输入详解！

21．

（1）单调递减区间为

，单调递增区间为

，极小值为

（2）证明见解析.

（1）求导得

，在定义域内解不等式

、

，即可得函数单调区间，进而得到极值；

（2）令

，求得函数

的最小值和

的最大值，可证

，即可得证.

，当

的单调