高中数学第1章立体几何初步12122空间两条直线的位置关系练习苏教版必修Word下载.docx
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4.下列命题中,其中正确的为________(填序号).
①若两条直线没有公共点,则这两条直线互相平行;
②若两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线互相平行;
③若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线互相平行;
④若两条直线都和第三条直线异面,则这两条直线互相平行;
⑤若两条直线都和第三条直线有公共点,那么这两条直线不可能互相平行.
根据两条直线的位置关系,知只有③正确.
③
5.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°
,则∠PQR=______.
由等角定理可知,当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相同时,∠PQR=30°
;
当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别平行并且方向相反时,∠PQR=150°
.故填30°
或150°
.
30°
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线.
(1)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行并且方向相同;
(2)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行并且方向相反.
(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行并且方向相同.
(2)D1B1∥BD,D1A1∥BC并且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行并且方向相反.
(1)D1B1C1
(2)B1D1A1
7.两条异面直线指的是________(填序号).
①空间中不相交的两条直线;
②分别位于两个不同平面内的两条直线;
③某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线;
④不同在任何一个平面内的两条直线.
根据异面直线定义来判定.选项①中两条直线可以平行,选项②③可以借助正方体(如下图所示),A′B′与AB这两条直线平行.
④
8.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于________.
如图所示,连接BC1,BA1,A1C1,
因为EF∥BA1,GH∥BC1,
所以异面直线EF与GH所成的角即为BC1与BA1所成的角,即∠A1BC1,
又因为A1B=BC1=A1C1,所以∠A1BC1=60°
60°
9.已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等,求AB与CD所成的角的大小.
解:
如图所示,分别取AC,AD,BC的中点P,M,N.连接PM,PN,由三角形的中位线性质知PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN(或其补角)就是异面直线AB和CD所成的角.连接MN,AN,DN,设AB=2,所以PM=PN=1.而AN=DN=
,则MN⊥AD,AM=1,
得MN=
,所以MN2=MP2+NP2.
所以∠MPN=90°
,即异面直线AB,CD所成的角是90°
B级 能力提升
10.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边形中点的四边形一定是( )
A.空间四边形B.矩形
C.菱形D.正方形
如图所示,易证四边形EFGH为平行四边形,
又因为E,F分别为AB,BC的中点,
所以EF∥AC.又FG∥BD,
所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.
而AC与BD所成的角为90°
,所以∠EFG=90°
故四边形EFGH为矩形.
B
11.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图所示),l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定不可能的是( )
A.l与AD平行
B.l与AD不平行
C.l与AC平行
D.l与BD垂直
假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与l与B1C1不平行矛盾,所以l与AD不平行.
A
12.a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a,b一定是异面直线;
④若a,b与c成等角,则a∥b.
上述命题中正确的命题是________(只填序号).
由公理4知①正确;
当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故②不正确;
a⊂α,b⊂β,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故③不正确;
当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故④不正确.
①
13.如图所示,若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的正切值是________.
因为BC∥AD,
所以∠CBD1为异面直线BD1与AD所成角,连CD1.
则由正四棱柱性质可知∠BCD1=90°
又因为BC=CD=2,DD1=4,
所以CD1=2
所以tan∠CBD1=
=
,
即BD1与AD所成角的正切值是
14.如图所示,木工师傅沿长方体木块ABCD-A1B1C1D1中棱BC和上底面的中心E将长方体木块锯开,问怎样画线?
在面A1B1C1D1内过点E作B1C1的平行线,与A1B1,C1D1分别相交于F、G,连接BF,CG即可.
15.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.
(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小;
(2)求直线AB1和EF所成的角的大小.
(1)如图所示,连接DC1,
所以DC1∥AB1.
所以∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.
因为∠CC1D=45°
所以AB1和CC1所成的角是45°
(2)如图所示,连接DA1,
因为EF∥A1D,AB1∥DC1,
所以∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.
因为△A1DC1是等边三角形,
所以∠A1DC1=60°
即直线AB1和EF所成的角是60°
2019-2020年高中数学第1章立体几何初步1.2-1.2.3直线与平面的位置关系练习苏教版必修
1.已知直线l∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于l的直线( )
A.只有一条,不在平面α内
B.只有一条,在平面α内
C.有两条,不一定都在平面α内
D.有无数条,不一定都在平面α内
如图所示,
因为l∥平面α,P∈α,
所以直线l与点P确定一个平面β,
α∩β=m.
所以P∈m.所以l∥m且m是唯一的.
2.三棱锥S-ABC中,E、F分别是SB、SC上的点,且EF∥平面ABC,则( )
A.EF与BC相交 B.EF与BC平行
C.EF与BC异面D.以上均有可能
由线面平行的性质定理可知EF∥BC.
3.如图所示,四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( )
A.MN∥PD
B.MN∥PA
C.MN∥AD
D.以上均有可能
因为MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,
平面PAD∩平面PAC=PA,
所以MN∥PA.
4.下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α.
A.1 B.2 C.3 D.4
对③,不能断定该直线与平面垂直,该直线与平面可能平行,可能斜交,也可能在平面内,所以是错误的.正确的是①②.
5.已知直线m,n是异面直线,则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A.有且只有一个B.至多一个
C.有一个或无数个D.不存在
若异面直线m,n垂直,则符合要求的平面有一个,否则不存在.
6.(xx·
浙江卷)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下面成立的是( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
根据条件确定相应的位置关系,再对照选项确定答案.
A中,由m⊥n,n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;
B中,由m∥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误;
C中,由m⊥β,n⊥β可得m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,正确;
D中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α,错误.
7.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍,则AB所在直线与平面α所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
如图所示,AC⊥α,AB∩α=B,
则BC是AB在平面α内的射影,
则BC=
AB,所以∠ABC=60°
它是AB与平面α所成的角.
8.设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出以下命题:
①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;
②若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;
③若∠ABC=90°
,H是AC的中点,则PA=PB=PC;
④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心.
其中正确命题的序号是________.
根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断.
①②③④
9.给出下列命题:
①垂直于同一平面的两条直线互相平行;
②垂直于同一直线的两个平面互相平行;
③过一点和已知平面垂直的直线只有一条;
④过一点和已知直线垂直的平面只有一个.
其中正确的命题的序号是________.
由线面垂直的性质知①②③④均正确.
10.如图所示,四面体PABC中,∠ABC=90°
,PA⊥平面ABC,则图中直角三角形有________.
因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AC,PA⊥AB.
所以△PAC、△PAB均为直角三角形,且底面△ABC也是直角三角形.由BC⊥AB,BC⊥PA知BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.
所以△PBC也是直角三角形,故直角三角形有4个.
4个
11.以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面):
①若a∥b,b⊂α,则a∥α;
②若a∥α,b∥α,则a∥b;
③若a∥b,b∥α,则a∥α;
④若a∥α,b⊂α,则a∥b.
其中正确命题的个数是________.
用定理来判定线面平行需满足三个条件.
12.如图所示,△BCD是等腰直角三角形,斜边CD的长等于点P到BC的距离,D是P在平面BCD上的射影.
(1)求PB与平面BCD所成的角;
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