解析几何试题Word文档格式.docx
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,总可以确定三个实数
,使得
构成封闭折线.
三.(15分)设向量
两两互相垂直,
,并且向量
,证明:
.
四.(10分)试求经过点
和
轴的平面方程.
五、(10分)试求经过点
,并且与直线
:
和
都相交的直线的方程.
六、(10分)证明直线
与
:
是异面直线.
七、(10分)试求到定点与定直线的距离之比等于常数
的
点的轨迹方程,并根据
的取值范围,说明轨迹的形状(注:
假定定点不在定直线上).
八、(10分)试求单叶双曲面
上,经过点
的两条直母线方程.
九、(15分)在欧氏平面上,将方程
化成标准型,作出其图形,说明原方程表示什么曲线.
解析几何试题A参考答案及评分标准
一、(10分)写出下列方程在空间所表示的图形名称.
1.
虚椭球面
二次锥面(圆锥面)
单叶双曲面
椭圆抛物面
抛物柱面 .
二、(10分)试证:
对于给定的四个向量
,
,总可以确定三个实数
,使得
证明:
假设
构成封闭折线,则
(4分)
于是
(6分)
解出
所以命题成立. (10分)
三、(15分)设向量
两两互相垂直,
,并且向量
因为
由题设条件可得
, (5分)
于是
(12分)
所以
(15分)
四、(10分)试求经过点
解:
由于平面过x轴,可设为
(5分)
以
代入,得
于是 B:
C=1:
2 (8分)
故所求平面方程为
(10分)
五、(10分)试求经过点
,并且与直线
过
与直线
的平面方程为
即
(4分)
过
即
(8分)
∴所求直线方程为
(10分)
的方向向量
(4分)
取
上的点
(6分)
计算
所以
与
是异面直线. (10分)
七、(10分)试求到定点与定直线的距离之比等于常数
的点的轨迹方程,并根据
设定点不在定直线上,建立坐标系,使定直线为x轴,定点为
,(
).
设动点为
,则由假设可知
即
平方,得
(5分)
①当
时,得
即
此为抛物柱面. (8分)
②当
时,得
则当
时,此为单叶双曲面;
当
时,此为椭球面. (10分)
上两族直母线:
族:
将
分别代入,可得
(6分)
分别代入,可得所求直线方程:
即
.(10分)
九、(15分)在欧氏平面上,将方程
由
得
于是
原方程化为:
配方
作平移变换
原方程化为
.(5分)
所以原方程表示抛物线. (10分)
作图 (15分)
y
x
O
解析几何试题B
1.
_________________________;
__________________________.
_____________________________.
________________________.
二.(10分)设向量
,向量
均垂直,
与z轴正方向的夹角是锐角,并且以
为棱所构成的四面体的体积是169,试求向量
的坐标.
三.(10分)用向量的方法证明:
三角形的三条高线交于一点.
四.(10分)试求经过直线
,并且在x,y两轴上截距相等(不为0)的平面方程.
五、(15分)已知两直线
,试证明两直线
为异面直线,并求
的公垂线方程.
六、(10分)试证直线
在平面
上.
七、(10分)试回答下列方程哪些是旋转曲面方程,它们是怎样产生的?
2.
3.
八、(10分)试证直线族
构成的
曲面是双曲抛物面,并求该曲面上平行于平面
的直母线方程.
化成标准型,并且作出其图形,说明该方程表示什么曲线.
解析几何试题B参考答案及评分标准
抛物柱面 .
双叶双曲面 .
点(0,0,0) .
一对虚的平行平面 .
椭圆抛物面 .
二、(10分)设向量
,向量
均垂直,
与z轴正方向的夹角是锐角,并且以
为棱所构成的四面体的体积是169,试求向量
解:
由条件设
,(4分)
由于
则
(8分)
所以
(10分)
三、(15分)用向量的方法证明:
证明:
设
,BC,CA边上的高线AD,BE交于一点P,
作
则
(4分)
由此可得
于是
(8分)
即
因此,PC是AB边上高线的一部分,所以,
三角形的三条高线相交于一点.(10分)
四、(10分)试求经过直线
,并且在x,y两轴上截距相等的平面方程.
经过已知直线的平面束
即
由题设条件,有
或
于是
或
故所求平面方程为
或
(10分)
五、(10分)已知两直线
上一点
的方向:
上一点
(4分)
由于
所以
为异面直线. (8分)
公垂线的方向:
过
点与
平行的平面:
即
(10分)
故所求公垂线方程为
. (15分)
直线
的方向向量
平面
的法向量
(3分)
由
知直线
平行于平面
或
在
上.(7分)
而
满足平面方程,所以
在平面
上.(10分)
七、(10分)试回答下列方程哪些是旋转曲面方程,它们是怎样产生的?
1.
答:
是旋转曲面,它是由母线
绕y轴旋转产生的.(4分)
2.
答:
不是旋转曲面. (6分)
3.
绕y轴旋转产生的.(10分)
八、(10分)试证直线族
构成的曲面是双曲抛
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