学年高中数学 第一章 解三角形 111 正弦定理教案 新人教A版必修5docWord文档格式.docx
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教学重点:
正弦定理的发现与证明;
正弦定理的简单应用。
教学难点:
正弦定理的猜想提出过程。
教学准备:
制作多媒体课件,学生准备计算器,直尺,量角器。
六、教学过程:
(一)结合实例,激发动机
师生活动:
教师:
展示情景图如图1,船从港口B航行到港口C,测得BC的距离为
,船在港口C卸货后继续向港口A航行,由于船员的疏忽没有测得CA距离,如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离?
学生:
思考提出测量角A,C
教师:
若已知测得
,
,要计算A、B两地距离,你(图1)
有办法解决吗?
学生:
思考交流,画一个三角形
,使得
为6cm,
,
,量得
距离约为4.9cm,利用三角形相似性质可知AB约为
490m。
老师:
对,很好,在初中,我们学过相似三角形,也学过解直角三角形,大家还记得吗?
师生:
共同回忆解直角三角形,①直角三角
形中,已知两边,可以求第三边及两个角。
②直角三角形中,已知一边和一角,可以求另两边及第三个角。
。
引导,
是斜三角形,能否利用解直角三角形,精确计算AB呢?
思考,交流,得出过
作
于
如图2,把
分为两个直角三角形,解题过程,学生阐述,教师板书。
解:
过
在
中,
表示对学生赞赏,那么刚才解决问题的过程中,若
,能否用
、
表示
呢?
引导学生再观察刚才解题过程。
发现
引导,在刚才的推理过程中,你能想到什么?
你能发现什么?
发现即然有
,那么也有
引导
,我们习惯写成对称形式
,因此我们可以发现
,是否任意三角形都有这种边角关系呢?
设计意图:
兴趣是最好的老师。
如果一节课有良好的开头,那就意味着成功的一半。
因此,我通过从学生日常生活中的实际问题引入,激发学生思维,激发学生的求知欲,引导学生转化为解直角三角形的问题,在解决问题后,对特殊问题一般化,得出一个猜测性的结论——猜想,培养学生从特殊到一般思想意识,培养学生创造性思维能力。
(二)数学实验,验证猜想
给学生指明一个方向,我们先通过特殊例子检验
是否成立,举出特例。
(1)在△ABC中,∠A,∠B,∠C分别为
,对应的边长a:
b:
c为1:
1:
1,对应角的正弦值分别为
,引导学生考察
的关系。
(学生回答它们相等)
(2)、在△ABC中,∠A,∠B,∠C分别为
,对应角的正弦值分别为
,1;
(3)、在△ABC中,∠A,∠B,∠C分别为
:
2,对应角的正弦值分别为
,1。
(学生回答它们相等)(图3)
(图3)
对于
思考交流得出,如图4,在Rt
ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,
则有
,又
则
从而在直角三角形ABC中,
那么任意三角形是否有
学生按事先安排分组,出示实验报告单,让学生阅读实验报告单,质疑提问:
有什么不明白的地方或者有什么问题吗?
(如果学生没有问题,教师让学生动手计算,附实验报告单。
)
分组互动,每组画一个三角形,度量出三边和三个角度数值,通过实验数据计算,比较
的近似值。
借助多媒体演示随着三角形任意变换,
值仍然保持相等。
我们猜想:
=
让学生体验数学实验,激起学生的好奇心和求知欲望。
学生自己进行实验,体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。
(三)证明猜想,得出定理
师生活动:
我们虽然经历了数学实验,多媒体技术支持,对任意的三角形,如何用数学的思想方法证明
前面探索过程对我们有没有启发?
学生分组讨论,每组派一个代表总结。
(以下证明过程,根据学生回答情况进行叙述)
思考得出
①在
中,成立,如前面检验。
②在锐角三角形中,如图5设
作:
,垂足为
同理,在
③在钝角三角形中,如图6设
为钝角,
交
的延长线于
在
同锐角三角形证明可知
我们把这条性质称为正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
还有其它证明方法吗?
思考得出,分析图形(图7),对于任意△ABC,由初中所学过的面积公式可以得出:
而由图中可以看出:
等式
中均除以
后可得
即
教师边分析边引导学生,同时板书证明过程。
在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高
,三角形的面积:
,能否得到新面积公式
得到三角形面积公式
大家还有其他的证明方法吗?
比如:
都等于同一个比
值
,那
么它们也相等,这个
到底有没有什么特殊几何意义呢?
在前面的检验中,
恰为外接接圆的直径,即
,所以作
的外接圆
为圆心,连接
并延长交圆
,把一般三
角形转化为直角三角形。
证明:
连续
并延长交圆于
同理可证:
从刚才的证明过程中,
,显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径
,我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理,能否利用其他知识来证明正弦定理?
比如,在向量中,我也学过
,这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系,是否能够利用向量积来证明正弦定理呢?
思考(联系作高的思想)得出:
在锐角三角形
,作单位向量
垂直于
即
同理:
对于钝角三角形,直角三角形的情况作简单交代。
教
师:
由于时间有限,对正弦定理的证明到此为止,有兴趣的同学回家再探索。
经历证明猜想的过程,进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想,力图让学生体验数学的学习过程。
(四)利用定理,解决引例
现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。
马上得出
(五)了解解三角形概念
让学生了解解三角形概念,形成知识的完整性
一般地,把三角形的三个角
和它们的对边
叫做三角形的元素,已知,三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形。
利用正弦定理,重新解决引例,让学生体会用新的知识,新的定理,解决问题更方便,更简单,激发学生不断探索新知识的欲望。
(六)运用定理,解决例题
引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
讨论正弦定理可以解决的问题类型:
①如果已知三角形的任意两个角与一边,求三角形的另一角和另两边,如
;
②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角,求另一边与另两角,如
师生:
例1的处理,先让学生思考回答解
题思路,教师板书,让学生思考主要是突出主体,教师板书的目的是规范解题步骤。
例1:
中,已知
,解三角形。
分析“已知三角形中两角及一边,求其他元素”,第一步可由三角形内角和为
求出第三个角∠C,再由正弦定理求其他两边。
例2:
例2的处理,目的是让学生掌握分类讨论的数学思想,可先让中等学生讲解解题思路,其他同学补充交流
反馈练习(教科书第5页的练习)
用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。
自己解决问题,提高学生学习的热情和动力,使学生体验到成功的愉悦感,变“要我学”为“我要学”,“我要研究”的主动学习。
(七)尝试小结:
提示引导学生总结本节课的主要内容。
思考交流,归纳总结。
让学生尝试小结,教师及时补充,要体现:
(1)正弦定理的内容(
)及其证明思想方法。
(2)正弦定理的应用范围:
①已知三角形中两角及一边,求其他元素;
②已知三角形中两边和其中一边所对的角,求其他元素。
(3)分类讨论的数学思想。
通过学生的总结,培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。
(八)作业设计
作业:
第10页[习题1.1]A组第1、2题。
思考题:
例2:
例2中
分别改为
并解三角形,观察解的情况并解释出现一解,
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