等差数列练习题有答案Word格式.docx
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是
的形式(A,B是常数),则{
}是等差数列。
注:
若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
〖例〗已知数列{
}的前n项和为
,且满足
(1)求证:
{
(2)求
的表达式。
的关系
结论;
(2)由
的关系式
(1)等式两边同除以
得
-
+2=0,即
=2(n≥2).∴{
}是以
=
=2为首项,以2为公差的等差数列。
(2)由
(1)知
+(n-1)d=2+(n-1)×
2=2n,∴
当n≥2时,
=2
·
又∵
,不适合上式,故
【例】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1.其前n项和Sn满足2Sn=2pa
+an-p(p∈R),则{an}的通项公式为________.
∵a1=1,∴2a1=2pa
+a1-p,
即2=2p+1-p,得p=1.
于是2Sn=2a
+an-1.
当n≥2时,有2Sn-1=2a
+an-1-1,两式相减,得2an=2a
-2a
+an-an-1,整理,得2(an+an-1)·
(an-an-1-
)=0.
又∵an>
0,∴an-an-1=
,于是{an}是等差数列,故an=1+(n-1)·
=
.
(二)等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式
+(n-1)d及前n项和公式
,共涉及五个量
,
,d,n,
“知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而
和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
因为
,故数列{
}的首项
=3,通项
,且
成等差数列。
求:
的值;
(2)数列{
的公式。
(1)由
=3与
成等差数列列出方程组即可求出
;
(2)通过
利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
=3得
……………………………………①
又
,得
…………………②
由①②联立得
(2)由
(1)得
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d,若d>
0,则数列递增;
若d<
0,则数列递减;
若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质:
已知数列{
}是等差数列,
是其前n项和。
(1)若m+n=p+q,则
特别:
若m+n=2p,则
仍是等差数列,公差为kd;
(3)数列
也是等差数列;
(4)
(5)若n为偶数,则
若n为奇数,则
(6)数列
也是等差数列,其中
均为常数,是
等差数列。
典型例题
1.等差数列
中,若
,则
=_____225___;
2.(厦门)在等差数列
中,
则其前9项的和S9等于(A)
A.18B27C36D9
3、(全国卷Ⅰ理)设等差数列
的前
项和为
,若
则
=24
4、等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(C)
(A)130(B)170(C)210(D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列
和
项和分别为A
,则使得
为整数的正整数
的个数是( D )
A.2B.3C.4D.5
6、在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=________.
由an+1=2an+3,则有an+1+3=2(an+3),
即
=2.
所以数列{an+3}是以a1+3为首项、公比为2的等比数列,即an+3=4·
2n-1=2n+1,所以an=2n+1-3.
7、已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为
的等差数列,则|m-n|的值等于________.
如图所示,易知抛物线y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴x=1,它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.
因为xA=
,则xD=
.
又|AB|=|BC|=|CD|,所以xB=
,xC=
故|m-n|=|
×
-
|=
8、在等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________.
设公差为d,则11(-3+4d)=5(-3+7d)-13,
∴d=
∴数列{an}为递增数列.
令an≤0,∴-3+(n-1)·
≤0,∴n≤
∵n∈N*.
∴前6项均为负值,∴Sn的最小值为S6=-
6.若两个等差数列
项和分别为
6.
7.(北京卷)(16)(本小题共13分)
已知
为等差数列,且
(Ⅰ)求
的通项公式;
(Ⅱ)若等差数列
满足
,求
的前n项和公式
解:
(Ⅰ)设等差数列
的公差
因为
所以
解得
所以
(Ⅱ)设等比数列
的公比为
即
=3
项和公式为
★等差数列的最值:
若
是等差数列,求前n项和的最值时,
(1)若a1>
0,d>
0,且满足
,前n项和
最大;
(2)若a1<
0,且满足
最小;
(3)除上面方法外,还可将
的前n项和的最值问题看作
关于n的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意
〖例〗在等差数列
中,
,其前n项和为
(1)求
的最小值,并求出
取最小值时n的值;
(1)可由已知条件,求出a1,d,利用
求解,亦可用
利用二次函数求最值;
(2)将前面是负值的项转化为正值求解即可。
(1)设等差数列
的首项为
,公差为
,∵
,令
,∴当n=20或21时,
最小且最小值为-630.
(2)由
(1)知前20项小于零,第21项等于0,以后各项均为正数。
∴
〖例〗已知数列
是等差数列。
(1)若
(2)若
设首项为
(2)由已知可得
解得
【例】已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,满足关系式2Sn=3an-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的通项公式是bn=
,前n项和为Tn,求证:
对于任意的正整数n,总有Tn<
1.
(1)解 ①当n=1时,由2Sn=3an-3得,2a1=3a1-3,
∴a1=3.
②当n≥2时,由2Sn=3an-3得,
2Sn-1=3an-1-3.
两式相减得:
2(Sn-Sn-1)=3an-3an-1,即2an=3an-3an-1,
∴an=3an-1,又∵a1=3≠0,∴{an}是等比数列,∴an=3n.
验证:
当n=1时,a1=3也适合an=3n.
∴{an}的通项公式为an=3n.
(2)证明 ∵bn=
∴Tn=b1+b2+…+bn
=(1-
)+(
)+…+(
)
=1-
<
B、等比数列知识点及练习题
等比数列及其前n项和
(一)等比数列的判定
判定方法有:
(1)定义法:
是等比数列;
(2)中项公式法:
若数列
,则数列
(3)通项公式法:
若数列通项公式可写成
(4)前n项和公式法:
的前n项和
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空中的判定;
(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
〖例〗在数列
(1)证明数列
(2)求数列
(3)证明不等式
对任意
皆成立。
(1)由题设
所以数列
是首项为1,且公比为4的等比数列。
(2)由
(1)可知
,于是数列
的通项公式为
(3)对任意的
,所以不等式
(二)等比数列的的运算
等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量
,显然,“知三求二”,通常列方程(组)求解问题。
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。
在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。
〖例〗设数列
的前n项和为
=2-2
(1)求数列
(2)若
为数列
的前n项和,求证:
【放缩法】
,又
,所以
,由
……………………①
……………………………………………………②
②-①得
,∴
是以
为首项,以
为公比的等比数列,所以
(2)∵
为等差数列,∴
从而
………………………………③
…………………④
③-④得
(三)等比数列性质的应用
★在等比数列中常用的性质主要有:
(1)对于任意的正整数
特别地,若
(2)对于任意正整数
有
(3)若数列
是等比数列,则
也是等比数列,若
也是等比数列;
(4)数列
仍成等比数列;
(5)数列
是等比数列(q≠-1);
★(6)等比数列的单调性
等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同。
1.(全国卷2理数)(4).如果等差数列
,那么
(A)14(B)21(C)28(D)35
【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】
2.(辽宁理数)(6)设{an}是有正数组成的等比数列,
为其前n项和。
已知a2a4=1,
(A)
(B)
(C)
(D)
【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。
【解析】由a2a4=1可得
,因此
,又因为
,联力两式有
,所以q=
所以
3.(辽宁卷)(14)设
为等差数列
项和,
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