徐州中考试题研究题库数学 二次函数.docx
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徐州中考试题研究题库数学二次函数
题库:
二次函数综合题
类型一 线段问题
1.如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;
(3)在抛物线对称轴上是否存在点M,使|MA-MC|最大?
若存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
∵抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),
∴
,解得
,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3;
令x=0,则y=3,∴C(0,3),
则直线AC的解析式为y=-x+3,
设点P(x,x2-4x+3),
∵PD∥y轴,
∴点D(x,-x+3),
∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)
=-x2+3x
=-(x-
)2+
,
∵a=-1<0,
∴当x=
时,线段PD的长度有最大值,最大值为
;
存在.
由抛物线的对称性得,对称轴垂直平分线段AB,
∴MA=MB,
当M、B、C不在同一条直线上时,由三角形的三边关系得,
|MA-MC|=|MB-MC| 当M、B、C三点共线时, |MA-MC|=|MB-MC|=BC, ∴|MA-MC|≤BC,即当点M在BC的延长线上时,|MA-MC|最大,最大值即为BC的长度, 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0), ∵B(1,0),C(0,3), ∴ , 解得 , ∴直线BC的解析式为y=-3x+3, ∴当x=2时,y=-3×2+3=-3, ∴点M(2,-3), 即抛物线对称轴上存在点M(2,-3),使|MA-MC|最大. 2.如图,抛物线y=ax2+bx+1经过点(2,6),且与直线y= x+1相交于A,B两点,点A在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交AB于点E,求线段PE的最大值; (3)在 (2)的条件下,设PC与AB相交于点Q,当线段PC与BE互相平分时,请求出点Q的坐标. 第2题图 ∵BC⊥x轴,垂足为点C(4,0),且点B在直线y= x+1上, ∴点B的坐标为(4,3), ∵抛物线y=ax2+bx+1经过点(2,6)和点B(4,3), ∴ ,解得 , ∴抛物线的解析式为y=-x2+ x+1; 设动点P的坐标为(x,-x2+ x+1)(0 则点E的坐标为(x, x+1), ∵PD⊥x轴于点D,且点D在x轴上, ∴PE=PD-ED =(-x2+ x+1)-( x+1) =-x2+4x =-(x-2)2+4, 则当x=2时,线段PE的值最大,最大值为4; ∵线段PC与BE互相平分, ∴△PEQ≌△CBQ, ∴PE=BC, ∴-x2+4x=3,即x2-4x+3=0, 解得x1=1,x2=3, ∵点Q分别是PC,BE的中点,且点Q在直线y= x+1上, ∴①当x=1时,点Q的横坐标为 = ,则点Q的坐标为( , ); ②当x=3时,点Q的横坐标为 = ,则点Q的坐标为( , ). 综上所述,点Q的坐标为( , )或( , ). 类型二 面积问题 1.如图,已知抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于点B,E两点,与y轴交于点A,OB=8,tan∠ABD=1,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动,动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动,动点C,D同时出发,当动点D到达原点O时,点C,D停止运动. (1)求抛物线的解析式; (2)求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△CED的面积最大? 最大面积是多少? (3)当△CED的面积最大时,在抛物线上是否存在点P(点E除外),使△PCD的面积等于△CED的最大面积,若存在,直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由. 第1题图 ∵OB=8,tan∠ABD=1, ∴OA=OB=8, ∴A(0,8),B(8,0). 把点A(0,8),B(8,0)代入y=- x2+bx+c, 得 ,解得 , ∴抛物线解析式为y=- x2+3x+8; 令y=0时,有- x2+3x+8=0, 解得x1=-2,x2=8, ∴E(-2,0), ∴BE=10, ∵S△CED= DE·OC, ∴S= t(10-t)=- t2+5t, ∴S与t的函数解析式为S=- t2+5t=- (t-5)2+ (0≤t≤8), ∴当t=5时,△CED的面积最大,最大面积为 ; 存在,P点坐标为(8,0)或( , )或( ,- ). 当△CED的面积最大时,t=5,即BD=DE=5,此时要使S△PCD=S△CED,CD为公共边,只需求出过点B、或点E且平行于CD的直线即可,如下: 第1题解图 设直线CD的解析式为y=kx+b, 由 (2)可知OC=5,OD=3, ∴C(0,5),D(3,0), 把C(0,5)、D(3,0)代入, 得 ,解得 , ∴直线CD的解析式为y=- x+5, ∵DE=DB=5, ∴过点B且平行于CD的直线为y=- (x-5)+5, 过点E且平行于CD的直线为y=- (x+5)+5, 与抛物线解析式联立得 方程①: - x2+3x+8=- (x-5)+5, 解得x1=8,x2= , 方程②: - x2+3x+8=- (x+5)+5, 解得x3= ,x4=-2, 分别将x的值代入抛物线的解析式,得y1=0,y2= ,y3=- ,y4=0, 又∵P点不与E点重合, ∴满足题意的P点坐标有3个,分别是P1(8,0),P2( , ),P3( ,- ). 2.如图,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C,且其对称轴l为直线x=-1,点P是抛物线上B,C之间的一个动点(点P不与点B,C重合). (1)直接写出抛物线的解析式; (2)小唐探究点P的位置时发现: 当动点N在对称轴l上时,存在PB⊥NB,且PB=NB的关系,请求出点P的坐标; (3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大? 若存在,请求出四边形PBAC面积的最大值,若不存在,请说明理由. 第2题图 y=x2+2x-3; ∵A(1,0),对称轴l为直线x=-1, ∴B(-3,0), ∴ ,解得 , ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3; 如解图①,过点P作PM⊥x轴于点M,连接BP,过点B作BN⊥PB交直线l于点N, 设抛物线的对称轴与x轴交于点Q, ∵PB⊥NB,∴∠PBN=90°, ∴∠PBM+∠NBQ=90°. ∵∠PMB=90°, ∴∠PBM+∠BPM=90°. ∴∠BPM=∠NBQ. 又∵PB=NB, ∴△BPM≌△NBQ. ∴PM=BQ. 由 (1)得y=x2+2x-3, ∵Q(-1,0),B(-3,0) ∴BQ=2, ∴PM=BQ=2. ∵点P是抛物线y=x2+2x-3上B、C之间的一个动点,且点P的纵坐标为-2, 将y=-2代入y=x2+2x-3,得-2=x2+2x-3, 解得x1=-1- ,x2=-1+ (不合题意,舍去), ∴点P的坐标为(-1- ,-2); 第2题解图① 存在. 如解图②,连接AC,BC,CP,PB,过点P作PD∥y轴交BC于点D, ∵A(1,0),B(-3,0),C(0,-3), ∴S△ABC= ×3×4=6, 直线BC的解析式为y=-x-3. 设P(t,t2+2t-3),则D(t,-t-3), ∴S△BPC= ×3×(-t-3-t2-2t+3)=- t2- t, ∴S四边形PBAC=- t2- t+6 =- (t+ )2+ , 当t=- 时,S四边形PBAC存在最大值,最大值为 . 此时点P的坐标为(- ,- ). 第2题解图② 类型二 特殊三角形的存在探究问题 1.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE.已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8). (1)求抛物线的函数表达式; (2)分别求出点B和点E的坐标; (3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究: 当m为何值时,△OPQ是等腰三角形. 第1题图 抛物线的函数表达式为y= x2-3x-8; 点B的坐标为(8,0). 点E的坐标为(3,-4); 需分两种情况进行讨论: ①当OP=OQ时,△OPQ是等腰三角形,如解图①, 第1题解图① ∵点E的坐标为(3,-4), ∴OE= =5, 过点E作直线ME∥PB,交y轴于点M,交x轴于点H, 则 = , ∴OM=OE=5, ∴点M的坐标为(0,-5), 设直线ME的函数表达式为y=k1x-5, ∴3k1-5=-4,解得k1= , ∴直线ME的函数表达式为y= x-5, H在直线ME上, 令y=0,解得x=15, ∴点H的坐标为(15,0). 又∵MH∥PB, ∴ = ,即 = , ∴m=- ; ②当QO=QP时,△OPQ是等腰三角形,如解图②, ∵当x=0时,y= x2-3x-8=-8, 第1题解图② ∴点C的坐标为(0,-8), ∴CE= =5, ∴OE=CE, ∴∠1=∠2, 又∵QO=QP, ∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3, ∴CE∥PB. 设直线CE交x轴于点N,其函数表达式为y=k2x-8, ∴3k2-8=-4,解得k2= , ∴直线CE的函数表达式为y= x-8, 令y=0,得 x-8=0, ∴x=6, ∴点N的坐标为(6,0). ∵CN∥PB. ∴ = , ∴ = ,解得m=- . 综上所述,当m的值为- 或- 时,△OPQ是等腰三角形.
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