精品浅谈向量的教学要求Word文档下载推荐.docx

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通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.

2.向量的线性运算

（1）通过实例,掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。

（2）通过实例，掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。

（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义。

3.平面向量的基本定理及坐标表示

（1）了解平面向量的基本定理及其意义。

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

4.平面向量的数量积

（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

5.向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。

6.空间向量及其运算

（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.

（2）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

（3）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

（4）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

7.空间向量的应用

（1）理解直线的方向向量与平面的法向量。

（2）能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

（3）能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例、2例3）。

（4）能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

【例1】已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°

∠BAC=30°

∣BC∣=1,∣AA1∣=

M是棱CC1的中点，证明:

AB1⊥A1M.

【例2】已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直，以AD为公共边，但它们不在同一平面上。

点M，N分别在对角线BD,AE上，且∣BM∣=

∣BD∣，∣AN∣=

∣AE∣。

证明：

MN∥平面CDE。

【例3】已知单位正方体ABCD－A1B1C1D1，E,F分别是棱B1C1和C1D1的中点。

试求：

（1）AD1与EF所成的角；

（2）AF与平面BEB1所成的角;

（3）二面角C1－DB－B1的大小。

另外,“新课标”还对向量的教学提了一些说明和建议：

（1）向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念,几何背景是有向线段.了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。

教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。

例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。

对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解,不必展开。

（2）空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

教学过程中应注意维数增加所带来的影响.

（3）在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题。

二、向量在二OO四年高考中的地位

我们先来看看向量在《2004年普通高等学校招生全国统一考试数学科考试大纲》中的要求。

1。

平面向量

考试内容：

向量。

向量的加法与减法。

实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点。

平面向量的数量积。

平面两点间的距离。

平移。

考试要求:

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.

（2）掌握向量的加法与减法。

（3）掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式.

2.空间向量

（1）空间向量及其加法、减法与数乘,空间向量的坐标表示,空间向量的数量积.

（2）直线的方向向量。

（3）直线和平面垂直的性质.平面的法向量。

点到平面的距离。

直线和平面所成的角.向量在平面内的射影。

（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。

（2）了解空间向量的基本定理.理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.

（3）掌握空间向量的数量积的定义及其性质。

掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式。

掌握空间两点间距离公式。

（4）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。

下面再来看看《2004年普通高等学校招生全国统一考试》数学试卷中有关向量内容的试题。

广东卷

一、选择题

（1）已知平面向量a=（3，1）,b=（x,－3），且a⊥b，则x=

（A）3（B）1（C）－1（D）－3

三、解答题

（18）（本小题满分12分）

如右下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中,已知AB=4，AD=3，AA1=2。

E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1。

（Ⅰ）求二面角C－DE－C1的正切值；

D1C1

（Ⅱ）求直线EC1与FD1所成角的余弦值。

A1B1

〖注〗本小题主要考查二面角异面直线所

成的角空间向量等知识和思维能力空间想象能

力运算能力。

DC

F

AEB

全国卷

（3）已知a、b均为单位向量它们的夹角为60°

，那么|a+3b｜=

（A）

（B）

（C）

（D）4

理（20）文（21）（本小题满分12分）

如图,已知四棱锥P－ABCD中，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形，侧面PAD与P

底面ABCD所成的二面角为120°

.

（Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离。

（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面

角的大小。

AB

从这些考题可以看到,向量既是一个单独的考点，在研究几何问题时又是一个重要的工具。

三、向量的教学要求

由上可知,向量是一种重要的研究工具。

向量在数学和物理学中应用很广,在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题.在进行向量的教学时应达到下面的要求:

（一）平面向量

要求学生理解向量的概念.理解有向线段的三要素（起点、长度、方向）。

理解向量的表示方法的特点:

长度、方向都确定，起点不确定，可以平行移动。

掌握向量的几何表示法。

理解单位向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。

由于这里讲述的向量是自由向量,即只有大小和方向两个要素。

但用有向线段表示向量时,很多学生往往认识不到有向线段的起点的选取是任意的,而误认为向量的由起点、大小和方向三个要素决定的,从而影响以后的学习，所以教学时要特别指出，当两个向量的模相等，同时方向又相同时，它们是相等的。

而对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，所以，用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点。

由此可知,任意一组平行向量（方向相同或相反的非零向量）都可以移到同一条直线上，这一组平行向量又称为共线向量。

另外,教学时可多让学生画图,多让学生辨认复杂的几何图形中相等的有向线段。

2.要求学生掌握向量的加法和减法的概念,熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，掌握向量加法的交换律和结合律,会作两个向量的和向量与差向量.为说明向量和与数量和的区别,在讲完向量的加法时，可结合图形说明下列几点：

（1）两个向量的和仍是一个向量。

（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b不同向，且｜a+b｜<

|a|+｜b｜。

（3）当a与b同向时，则a＋b、a、b同向，且|a+b|=|a|+｜b|。

当a与b反向时、若|a|〉|b｜,则a+b的方向与a相同，且｜a+b｜=｜a｜－｜b|;

若|a|<

｜b|，则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b｜－|a｜。

另外，教学时还要注意训练学生的作图语言,以使他们能更好的理解向量加法和减法的几何意义.

3.

要求学生掌握实数与向量的积的定义及实数与向量的积的运算律.理解两个向量共线的充要条件，并能利用它证明一些三点共线问题和两直线的平行问题。

了解和掌握平面向量基本定理及其应用。

对于向量共线的定理和平面向量基本定理，教学时，不必严格证明它们，只要学生认识它们的本质和会用就可以了。

要提醒学生，向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况.另外，对一般学生只要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题。

对学有余力的学生,可给予一定的训练，以拓广他们的解题思路。

4.要求学生理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标表示方法；

掌握平面向量的坐标运算法则；

掌握两向量平行时坐标表示的充要条件，会根据向量的坐标，判断向量是否共线.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后,即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来，这样很多问题的证明，就转化为学生熟知的数量的运算,这也是中学数学课中学习向量的目的之一。

对于向量的坐标运算一定要让学生掌握。

5。

要求学生掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并能熟练运用这两个公式。

在这里,确定定比λ的值是求解线段定比分点坐标的关键。

当点P在线段P1P2上时，λ>

0;

当点P在线段P1P2或P2P1的延长线上时，λ<

0.教学时,一定要让学生掌握何时λ〉0，何时λ〈0.另外，对于程度较好的学生，可在课外介绍线段定比分点的向量式，以扩大他们的知识面。

6。

要求学生掌握平面向量的数量积及其几何意义；

掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

掌握向量垂直的条件；

了解平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直问题.两向量的数量积是两向量之间的一种乘法，是中学代数中从未遇到过的一种新的乘法，与数的乘法是有区别的，所以是教学的难点。

在教学时，要注意讲清以下几点：

（1）两向量的数量积是个数量，而不是向量.

（2）两个向量a、b的数量积a·

b虽与代数中两个数a、b的乘积ab（或a·

b）不同,但又类似,所以书写时一定要把它们严格区分开来，以免影响后面的学习.

（3）当a≠0时,由a·

b=0不能推出b一定是零向量。

（4）已知实数a、b、c（b≠0）,则由ab=bc可得a=c;

但对于向量，该推理就是不正确的。

（5）对于实数a、b、c有（ab）c=a（bc），但对于向量a、b、c，（a·

b）c