成人高考专升本《高等数学二》公式大全文档格式.docx
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当x变化时,f′(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数),y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=y′=
4.几种常见函数的导数
(1)c′=0(c为常数),
(2)(xn)′=nxn-1(n∈Z),(3)(ax)′=axlna(a>0,a
1),(ex)′=ex
(4)(lnx)′=
,(logax)′=
logae=
(a>0,a
1)
(5)(sinx)′=cosx,(6)(cosx)′=-sinx
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
5.函数的和、差、积、商的导数
(u±
v)′=u′±
v′,(uv)′=u′v+uv′
′=
,(ku)′=cu′(k为常数).
(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′
微分公式:
(1)
6.微分的四算运则
d(u±
v)=du±
dv,d(uv)=vdu+udv
d(ku)=kdu(k为常数).
洛必达法则:
在一定条件下通过分子分母分别求导,再求极限来确定未定式的值的方法。
7.导数的应用:
=0的点为函数
的驻点,求极值;
时,
;
(2)
(3)
的拐点,求凹凸区间;
第三章知识点概况
不定积分的定义:
函数f(x)的全体原函数称为函数f(x)的不定积分,记作
,并称
为积分符号,函数
为被积函数,
为被积表达式,x为积分变量。
不定积分的性质:
基本积分公式:
换元积分(凑微分)法:
1.凑微分。
对不定积分
,将被积表达式g(x)dx凑成
2.作变量代换。
令
3.用公式积分,,并用
换式中的u
常用的凑微分公式主要有:
分部积分法:
适用于分部积分法求不定积分的常见题型及u和dv的选取法
上述式中的P(x)为x的多项式,a,b为常数。
一些简单有理函数的积分,可以直接写成两个分式之和,或通过分子加减一项之后,很容易将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和,再求出不定积分。
定积分:
(1)定积分的值是一个常数,它只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关,而与积分变量的字母无关,即应有
(2)在定积分的定义中,我们假定a<
b;
如果b<
a,我们规定:
如果a=b,则规定:
(3)对于定义在
上的连续奇(偶)函数
,有
为奇函数
为偶函数
定积分的性质:
定积分的计算:
一、变上限函数
设函数
在区间
上连续,并且设x为
上的任一点,于是,
上的定积分为
这里x既是积分上限,又是积分变量,由于定积分与积分变量无关,故可将此改为
如果上限x在区
间上任意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个确定值与之对应,所以定积分在
上定义了一个以x为自变量的函数
,我们把
称为函数
上变上限函数
记为
推理:
定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的,有时甚至无法计算。
因此,必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道:
如果物体以速度
作直线运动,那么在时间区间
上所经过的路程s为
图5-11
另一方面,如果物体经过的路程s是时间t的函数
,那么物体从t=a到t=b所经过的路程应该是(见图5-11)
即
由导数的物理意义可知:
是
一个原函数,因此,为了求出定积分
,应先求出被积函数
的原函数
,再求
上的增量
即可。
如果抛开上面物理意义,便可得出计算定积分
的一般方法:
在闭区间
上连续,
的一个原函数,即
,则
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便,将公式写成
牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。
它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。
它揭示了定积分和不定积分的内在联系,提供了计算定积分有效而简便的方法,从而使定积分得到了广泛的应用。
定积分的换元公式:
计算要领是:
定积分的分部积分法:
5.4.2定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系下面积的计算
(1)由曲线
和直线
所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍,此处不再叙述.
(2)求由两条曲线
及直线
所围成平面的面积
(如图5.8所示).
下面用微元法求面积
取
为积分变量,
上任取一小区间
,该区间上小曲边梯形的面积
可以用高
,底边为
的小矩形的面积近似代替,从而得面积元素
写出积分表达式,即
求由两条曲线
所围成平
面图形(如图5.9)的面积.
这里取
用类似
(2)的方法可以推出:
第四章知识点多元函数微分学
§
4.1偏导数与全微分
一.主要内容:
1.多元函数的概念
1.二元函数的定义:
2.二元函数的几何意义:
二元函数是一个空间曲面。
(而一元函数是平面上的曲线)
Z=ax+by+c表示一个平面;
表示球心在原点、半径为R的上半个球面;
,表示开口向上的圆锥面;
,表示开口向上的旋转剖物面。
2.二元函数的极限和连续:
1.极限定义:
设z=f(x,y)满足条件:
2.连续定义:
㈢.偏导数:
㈣.全微分:
1.定义:
z=f(x,y)
则称
在点(x,y)处的全微分。
3.全微分与偏导数的关系
㈤.复全函数的偏导数:
1.
2.
㈥.隐含数的偏导数:
㈦.二阶偏导数:
(八)隐函数的导数和偏导数
(九).二元函数的无条件极值
1.二元函数极值定义:
☆极大值和极小值统称为极值,
极大值点和极小值点统称为极值点。
2.极值的必要条件:
两个一阶偏导数存在,则:
而非充分条件。
例:
∴驻点不一定是极值点。
3.极值的充分条件:
求二元极值的方法:
二倍角公式:
(含万能公式)
第五章排列与组合
(1)加法原理:
完成一件事情与分类有关,即每一类各自独立完成,此事即可完成。
(2)乘法原理:
完成一件事情与步骤有关,即一次完成每一步骤,此事才能完成。
排列:
从n个不同元素里,任取
个元素,按照一定的顺序排列成一列,称为从n个不同元素里取出m个元素的一个排列,计算公式:
组合:
个元素组成一组,叫做从n个不同元素里取出m个元素的一个组合,组合总数记为
,计算公式:
第六章概率论
符号
概率论
集合论
样本空间
全集
不可能事件
空集
基本事件
集合的元素
A
事件
子集
A的对立事件
A的余集
事件A发生导致
事件B发生
A是B的子集
A=B
A与B两事件相等
集合A与B相等
事件A与事件B
至少有一个发生
A与B的并集
事件A与事件B同时发生
A与B的交集
A-B
事件A发生而事件B不发生
A与B的差集
事件A与事件B互不相容
A与B没有相同元素
由于随机事件都可以用样本空间
中的某个集合来表示,于是事件间的关系和运算就可以用集合论的知识来讨论和表示,为了直观,可以用集合的韦恩图来表示事件的各种关系和运算法则,一般用某个矩形区域表示样本空间,该区域的一个子区域表示某个事件。
于是各事件的关系运算如图中的图示所示。
各事件的关系运算如图示:
9.完备事件组
n个事件
,如果满足下列条件:
(1)
;
(2)
则称其为完备事件组。
显然任何一个事件A与其对立事件
构成完备事件组。
10.事件运算的运算规则:
(1)交换律
(2)结合律
(3)分配律
(4)对偶律
率的古典定义
定义:
在古典概型中,若样本空间所包含的基本事件总数为n,事件A包含的基本事件数为m,则事件A发生的概率为
。
概率的基本性质与运算法则
性质1.0≤P(A)≤1
特别地,P(Φ)=0,P(Ω)=1
性质2.若
,则P(B-A)=P(B)-P(A)
性质3.(加法公式).对任意事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
推论1.若事件A,B互不相容(互斥),则P(A+B)=P(A)+P(B)
推论2.对任一事件A,有
推论3.对任意事件A,B,C,有P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
条件概率、乘法公式、事件的独立性
条件概率
定义1:
设有事件A,B,且P(B)>
0,称
类似地,如果P(A)>
0,则事件B对事件A的条件概率为
概率的乘法公式
乘法公式可推广到有限多个事件的情况,例如对事件A,B,C,有
事件的独立性
一般地说,P(A︱B)≠P(A),即说明事件B的发生影响了事件A发生的概率。
若P(A︱B)≠P(A),则说明事件B的发生在概率意义下对事件A的发生无关,这时称事件A,B相互独立。
对于事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。
独立试验序列概型
在相同的条件下,独立重复进行n次试验,每次试验中事件A可能发生或可能不发生,且事件A发生的概率为p,则在n次试验中事件A恰好发生k次的概率
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