矩形的性质和判定同步练习及答案Word下载.docx
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13.如图,在▱ABCD中,∠BAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点F,连接BE,∠F=45°
.
(1)求证:
四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=14,DE=8,求sin∠AEB的值.
14.如图,AD是等腰△ABC底边BC上的高.点O是AC中点,延长DO到E,使OE=OD,连接AE,CE.
四边形ADCE的是矩形;
(2)若AB=17,BC=16,求四边形ADCE的面积.
15.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°
,F为DC上一点,且FC=AB,E为AD上一点,EC交AF于点G.
四边形ABCF是矩形;
(2)若EA=EG,求证:
ED=EC.
16.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E点,延长BC至F点使CF=BE,连接AF,DE,DF.
四边形AEFD是矩形;
(2)若AB=6,DE=8,BF=10,求AE的长.
17.平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在CD上,CF=AE,连接BF,AF.
四边形BFDE是矩形;
(2)若AF平分∠BAD,且AE=3,DE=4,求矩形BFDE的面积.
矩形的性质和判定解析
一.填空题(共12小题)
1.如图,矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD边于点E,点F是CD的中点,连接EF.若AB=8,且EF平分∠BED,则AD的长为 12 .
【分析】根据两直线平行,内错角相等求出∠AEB=∠EBC,再求出∠ABE=∠EBC,根据等角对等边可得AE=AB,然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解.
【解答】解:
∵矩形ABCD中,
∴AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∵∠ABC的平分线交AD边于点E,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE=8,
同理得出ED=DF=
DC=4,
∴AD=AE+ED=8+4=12,
故答案为:
12.
,则两条对角线相交所成的锐角是 80°
.
【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个,直接应用三角形的内角和定理求解即可.
由矩形的对角线相等且互相平分,所构成的三角形为等腰三角形,利用等边对等角,所以另一底角为40°
,
两条对角线相交所成的钝角为:
180°
﹣40°
×
2=100°
故它们所成锐角为:
﹣100°
=80°
故答案为80.
,E是BC的中点,AE⊥BD于点F,则CF的长是
【分析】根据四边形ABCD是矩形,得到∠ABE=∠BAD=90°
,根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB,根据相似三角形的性质得到BE=1,求得BC=2,根据勾股定理得到AE=
=
,BD=
,根据三角形的面积公式得到BF=
,过F作FG⊥BC于G,根据相似三角形的性质得到CG=
,根据勾股定理即可得到结论.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABE=∠BAD=90°
∵AE⊥BD,
∴∠AFB=90°
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°
∴∠BAE=∠ADB,
∴△ABE∽△ADB,
∵E是BC的中点,
∴AD=2BE,
∴2BE2=AB2=2,
∴BE=1,
∴BC=2,
∴AE=
∴BF=
过F作FG⊥BC于G,
∴FG∥CD,
∴△BFG∽△BDC,
∴FG=
,BG=
∴CG=
∴CF=
4.如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥AM,垂足为E.若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为
【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA,得出AM=AD,证出BC=AD=3EM,连接DM,由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM,得出EM=CM,因此BC=3CM,设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,在Rt△ABM中,由勾股定理得出方程,解方程即可.
∴AB=DC=1,∠B=∠C=90°
,AD∥BC,AD=BC,
∴∠AMB=∠DAE,
∵DE=DC,
∴AB=DE,
∵DE⊥AM,
∴∠DEA=∠DEM=90°
在△ABM和△DEA中,
∴△ABM≌△DEA(AAS),
∴AM=AD,
∵AE=2EM,
∴BC=AD=3EM,
连接DM,如图所示:
在Rt△DEM和Rt△DCM中,
∴Rt△DEM≌Rt△DCM(HL),
∴EM=CM,
∴BC=3CM,
设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,
在Rt△ABM中,由勾股定理得:
12+(2x)2=(3x)2,
解得:
x=
∴BM=
;
5.如图,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,连接CE.若BC=7,AE=4,则CE= 5 .
【分析】首先证明AB=AE=CD=4,在Rt△CED中,根据CE=
计算即可.
∴AD∥BC,AB=CD,BC=AD=7,∠D=90°
∵∠ABE=∠EBC,
∴AB=AE=CD=4,
在Rt△EDC中,CE=
=5.
故答案为5
6.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别是AO、AD的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则EF= 2.5 cm.
【分析】根据勾股定理求出AC,根据矩形性质得出∠ABC=90°
,BD=AC,BO=OD,求出BD、OD,根据三角形中位线求出即可.
∴∠ABC=90°
,BD=AC,BO=OD,
∵AB=6cm,BC=8cm,
∴由勾股定理得:
BD=AC=
=10(cm),
∴DO=5cm,
∵点E、F分别是AO、AD的中点,
∴EF=
OD=2.5cm,
2.5.
7.如图,连接四边形ABCD各边中点,得到四边形EFGH,还要添加 AC⊥BD 条件,才能保证四边形EFGH是矩形.
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边,HG∥BD,EH∥AC,根据平行线的性质∠EHG=∠1,∠1=∠2,根据矩形的四个角都是直角,∠EFG=90°
,所以∠2=90°
,因此AC⊥BD.
∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点,
∴HG∥BD,EH∥AC,
∴∠EHG=∠1,∠1=∠2,
∴∠2=∠EHG,
∵四边形EFGH是矩形,
∴∠EHG=90°
∴∠2=90°
∴AC⊥BD.
故还要添加AC⊥BD,才能保证四边形EFGH是矩形.
8.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且AO=CO,BO=DO,要使四边形ABCD为矩形,则需添加的条件为 ∠DAB=90°
(填一个即可).
【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形,添加条件∠DAB=90°
可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定.
可以添加条件∠DAB=90°
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠DAB=90°
∴四边形ABCD是矩形,
∠DAB=90°
.
9.已知四边形ABCD为平行四边形,要使得四边形ABCD为矩形,则可以添加一个条件为 ∠BAD=90°
【分析】根据矩形的判定方法:
已知平行四边形,再加一个角是直角填空即可.
∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=90°
∠BAD=90°
(答案不唯一).
10.木匠做一个矩形木框,长为80cm,宽为60cm,对角线的长为100cm,则这个木框 合格 (填“合格”或“不合格”)
【分析】只要算出桌面的长及宽的平方和是否等于对角线的平方,如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形,由此可得到每个角都是直角,根据矩形的判定:
有三个角是直角的四边形是矩形,可得此桌面合格.
解:
∵802+602=10000=1002,
即:
AD2+DC2=AC2,
∴∠D=90°
同理:
∠B=∠BCD=90°
故答案为合格.
11.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请补充一个条件,使四边形ABCD成为矩形,这个条件是 ∠A=90°
【分析】根据有一个角是90°
的平行四边形是矩形,即可解决问题.
∵AB∥DC,AB=DC,
∴当∠A=90°
时,四边形ABCD是平行四边形.
故答案为∠A=90°
.(填∠B=90°
或∠C=90°
或∠D=90°
也可以)
12.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB请你添加一个条件 EB=DC ,使四边形DBCE是矩形.
添加EB=DC.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC,
∴DE∥BC,
又∵DE=AD,
∴DE=BC,
∴四边形DBCE为平行四边形.
又∵EB=DC,
∴四边形DBCE是矩形.
故答案是:
EB=DC.
二.解答题(共6小题)
【分析】
(1)欲证明四边形ABCD是矩形,只需推知∠DAB是直角;
(2)如图,过点B作BH⊥AE于点H.构建直角△BEH.通过解该直角三角形可以求
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