学年高中数学241逆矩阵的概念教学案苏教版选修4docWord文档下载推荐.docx
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设A-1=
,
则
=
即
故
解得x=-1,z=2,y=2,w=-3,
从而A的逆矩阵为A-1=
法二:
公式法:
ad-bc=3×
1-2×
2=-1≠0,
∴A-1=
用待定系数法求逆矩阵时,先设出矩阵A的逆矩阵A-1,再由AA-1=E得相等矩阵,最后利用相等矩阵的概念求出A-1.
1.(江苏高考)已知矩阵A=
,B=
,求矩阵A-1B.
解:
设矩阵A的逆矩阵为
,则
,即
故a=-1,b=0,c=0,d=
,从而A的逆矩阵为A-1=
所以A-1B=
2.已知矩阵M=
所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A′(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标.
由M=
,得2×
(-1)-(-3)×
1=1≠0,
故M-1=
从而由
得
即A(2,-3)为所求.
[例2] 用几何变换的观点求下列矩阵的逆矩阵.
(1)A=
;
(2)B=
[思路点拨] A为伸压变换矩阵,B为旋转变换矩阵,只需找到它们的逆变换,再写出逆变换对应的矩阵即为所求.
[精解详析]
(1)矩阵A为伸压变换矩阵,它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变,横坐标沿x轴方向拉伸为原来2倍的伸缩变换,因此它存在逆变换TA-1:
将平面内点的纵坐标保持不变,横坐标沿x轴方向压缩为原来的
,所对应的变换矩阵为A-1=
(2)矩阵B为旋转变换矩阵,它对应的几何变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转90°
.它存在逆变换TB-1:
将平面内的点绕原点逆时针旋转90°
,所对应的变换矩阵为B-1=
从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换,就是观察在变换下是否能“走过去又能走回来”,即对应的变换是一一映射.
关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变换等常用变换对应的矩阵,根据矩阵对应的几何变换找出其逆变换,再写出逆变换对应的矩阵,即为所求逆矩阵.
3.已知矩阵A=
,求A-1.
矩阵A对应的变换是旋转变换R240°
,它的逆变换是R-240°
4.已知矩阵A=
因矩阵A所对应的变换为伸缩变换,
所以A-1=
逆矩阵的概念与性质的应用
[例3] 若矩阵A=
,求矩阵AB的逆矩阵.
[思路点拨] 根据公式(AB)-1=B-1A-1,先求出B-1、A-1,再利用矩阵乘法求解.
[精解详析] 因为矩阵A所对应的变换为伸缩变换,
而矩阵B对应的变换为切变变换,
其逆矩阵B-1=
∴(AB)-1=B-1A-1
(1)要避免犯如下错误(AB)-1=A-1B-1.
(2)此题也可以先求出AB再求其逆.
5.已知A=
设M=
,N=
,则A=MN.
∵1×
1-0×
(-1)=1≠0,
∴M-1=
,同理N-1=
由逆矩阵的性质,得
A-1=(MN)-1=N-1M-1
6.若矩阵A=
,求曲线x2+y2=1在矩阵(AB)-1变换下的曲线方程.
(AB)-1=B-1A-1=
设P(x,y)是圆x2+y2=1上任意一点,P点在(AB)-1对应变换下变成Q(x′,y′)
∴
∴P(x′+2y′,y′).
又P点在圆上,∴(x′+2y′)2+(y′)2=1.
展开整理为(x′)2+4x′y′+5(y′)2=1.
故所求曲线方程为x2+4xy+5y2=1.
[例4] 已知矩阵A=
,C=
,求满足AXB=C的矩阵X.
[思路点拨] 由AXB=C得X=A-1CB-1,从而求解.
[精解详析] ∵A-1=
B-1=
∴X=A-1CB-1=
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩阵,若位置错误,则得不到正确结果,原因是矩阵乘法并不满足交换律.
7.已知矩阵A=
若矩阵X满足AX=
,试求矩阵X.
所以
解得
故所求的逆矩阵A-1=
因为AX=
所以A-1AX=A-1
所以X=A-1
8.若点A(2,2)在矩阵M=
对应变换的作用下得到的点为B(-2,2),求矩阵M的逆矩阵.
因为M
所以M=
法一:
,知M是绕原点O逆时针旋转90°
的旋转变换矩阵,于是M-1=
,则ad-bc=1≠0.∴M-1=
1.求下列矩阵的逆矩阵.
利用逆矩阵公式.
(1)注意到1×
3-2×
1=1≠0,故A存在逆矩阵A-1,且
A-1=
(2)注意到2×
5-4×
3=-2≠0,故B存在逆矩阵B-1,且
利用待定系数法.
(1)设矩阵A的逆矩阵为
解得a=3,c=-2,b=-1,d=1.
从而A-1=
(2)设矩阵B的逆矩阵为
解得x=-
,z=2,y=
,w=-1.
从而B-1=
2.已知可逆矩阵A=
的逆矩阵A-1=
,求a,b的值.
根据题意,得AA-1=E,
解得a=5,b=3.
3.已知A=
,求证B是A的逆矩阵.
证明:
因为A=
所以AB=
BA=
所以B是A的逆矩阵.
4.求矩阵乘积AB的逆矩阵.
(2)A=
(1)(AB)-1=B-1A-1
(2)(AB)-1=B-1A-1
5.已知变换矩阵A把平面上的点P(2,-1),Q(-1,2)分别变换成点P1(3,-4),Q1(0,5).
(1)求变换矩阵A;
(2)判断变换矩阵A是否可逆,如果可逆,求矩阵A的逆矩阵A-1;
如果不可逆,请说明理由.
(1)设A=
,依题意,得
所以A=
(2)变换矩阵A是可逆的,理由如下:
则由
,得
故矩阵A的逆矩阵为A-1=
6.已知矩阵M=
,试求曲线y=cosx在矩阵M-1N对应的线性变换作用下的函数解析式.
M-1=
∴M-1N=
代入y=cosx得
y′=cos2x′
故曲线y=cosx在矩阵M-1N对应的变换作用下解析式为y=2cos2x.
(1)求矩阵A的逆矩阵B;
(2)若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x,求直线l的方程.
(1)设矩阵A的逆矩阵为B=
所以B=
(2)设直线l上任一点P(x,y)经过B对应变换变为点P(x′,y′),则
又y′=x′,所以-2x+y=
x-
y,
即直线l的方程为7x-3y=0.
8.已知曲线C在矩阵
对应的变换作用下的象为x2+y2=1,求曲线C的方程.
矩阵
对应的变换为:
平面内点的纵坐标沿y轴方向缩短为原来的
,横坐标沿x轴方向缩短为原来的
,其逆变换为:
将平面内点的纵坐标沿y轴方向拉伸为原来的2倍,横坐标沿x轴方向拉伸为原来的3倍,故
-1=
设圆x2+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵
对应的伸缩变换作用下的象为P′(x′,y′),
代入x2+y2=1,
+
=1.
故曲线C的方程为
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