拉普拉斯变换证明PPT课件下载推荐.ppt
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当且仅当它的实部和虚部同时为零。
2.2拉普拉斯变换,称为虚数单位,复数的表示法对于复数s=+j复平面:
以为横坐标(实轴)、为纵坐标(虚轴)所构成的平面称为复平面或s平面。
复数s=+j可在复平面s中用点(,)表示:
一个复数对应于复平面上的一个点。
2.2.1复数和复变函数,复数的向量表示法复数s=+j可以用从原点指向点(,)的向量表示。
向量的长度称为复数的模:
2.2.1复数和复变函数,向量与轴的夹角称为复数s的复角:
复数的三角函数表示法与指数表示法根据复平面的图示可得:
=rcos,=rsin复数的三角函数表示法:
s=r(cos+jsin),2.2.1复数和复变函数,欧拉公式:
复数的指数表示法:
复变函数、极点与零点的概念以复数s=+j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数:
G(s)=u+jv式中:
u、v分别为复变函数的实部和虚部。
2.2.1复数和复变函数,当s=-zi时,G(s)=0,则si=-zi称为G(s)的零点;
通常,在线性控制系统中,复变函数G(s)是复数s的单值函数。
即:
对应于s的一个给定值,G(s)就有一个唯一确定的值与之相对应。
当复变函数表示成,(b)当s=-pj时,G(s),则sj=-pj称为G(s)的极点。
例:
当s=+j时,求复变函数G(s)=s2+1的实部u和虚部v。
2.2.1复数和复变函数,复变函数的实部,复变函数的虚部,解:
G(s)s2+1(+j)2+12+j
(2)-2+1(2-2+1)+j
(2),2.2.2拉普拉斯变换的定义拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法,其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后,变成复变量s的乘积,将时间表示的微分方程,变成以s表示的代数方程。
2.2拉普拉斯变换,复变量,原函数,象函数,拉氏变换符号,拉普拉斯变换:
在一定条件下,把实数域中的实变函数f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数F(s)。
设有时间函数f(t),当t0时,f(t)0;
在t0时定义函数f(t)的拉普拉斯变换为:
拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。
拉氏变换存在的条件:
当t0时,f(t)分段连续,只有有限个间断点;
当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即,2.2.2拉普拉斯变换的定义,在复平面上,对于Resa的所有复数s(Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛,故Resa是拉普拉斯变换的定义域,a称为收敛坐标。
式中:
M、a为实常数。
2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换
(1)单位阶跃函数单位阶跃函数定义:
2.2拉普拉斯变换,
(2)单位脉冲函数单位脉冲函数定义:
2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,且:
(3)单位速度函数(单位斜坡函数)单位速度函数定义:
2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,(4)指数函数指数函数表达式:
2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,式中:
a是常数。
(5)正弦信号函数正弦信号函数定义:
2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式,正弦函数表达为:
(6)余弦信号函数余弦信号函数定义:
2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式,余弦函数表达为:
拉普拉斯变换简表(待续),2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续1),2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续2),2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续3),2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续4),2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续5),2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换,2.2.4拉普拉斯变换的基本性质
(1)线性定理若、是任意两个复常数,且:
2.2拉普拉斯变换,证明:
(2)平移定理若:
2.2.4拉普拉斯变换的基本性质,证明:
则:
(3)微分定理若:
f(0)是t=0时的f(t)值,同理,对于二阶导数的拉普拉斯变换:
(3)微分定理推广到n阶导数的拉普拉斯变换:
2.2.4拉普拉斯变换的基本性质,如果:
函数f(t)及其各阶导数的初始值均为零,即,则:
(4)积分定理若:
2.2.4拉普拉斯变换的基本性质,则:
证明:
(4)积分定理同理,对于n重积分的拉普拉斯变换:
2.2.4拉普拉斯变换的基本性质,若:
函数f(t)各重积分的初始值均为零,则有,注:
利用积分定理,可以求时间函数的拉普拉斯变换;
利用微分定理和积分定理,可将微分-积分方程变为代数方程。
(5)终值定理若:
根据拉普拉斯变换的微分定理,有,写出左式积分,(6)初值定理若:
根据拉普拉斯变换的微分定理,有,或者,(7)卷积定理两个时间函数f1(t)、f2(t)卷积的拉普拉斯变换等于这两个时间函数的拉普拉斯变换。
2.2.4拉普拉斯变换的基本性质,式中:
2.2.5拉普拉斯反变换
(1)拉普拉斯反变换的定义将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程,称之为拉普拉斯反变换。
其公式:
2.2拉普拉斯变换,拉氏反变换的求算有多种方法,如果是简单的象函数,可直接查拉氏变换表;
对于复杂的,可利用部分分式展开法。
如果把f(t)的拉氏变换F(s)分成各个部分之和,即,2.2.5拉普拉斯反变换,假若F1(s)、F2(s),Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得,那么,当F(s)不能很简单地分解成各个部分之和时,可采用部分分式展开将F(s)分解成各个部分之和,然后对每一部分查拉氏变换表,得到其对应的拉氏反变换函数,其和就是要得的F(s)的拉氏反变换f(t)函数。
(2)部分分式展开法在系统分析问题中,F(s)常具有如下形式:
2.2.5拉普拉斯反变换,式中A(s)和B(s)是s的多项式,B(s)的阶次较A(s)阶次要高。
对于这种称为有理真分式的象函数F(s),分母B(s)应首先进行因子分解,才能用部分分式展开法,得到F(s)的拉氏反变换函数。
将分母B(s)进行因子分解,写成:
2.2.5拉普拉斯反变换,式中,p1,p2,pn称为B(s)的根,或F(s)的极点,它们可以是实数,也可能为复数。
如果是复数,则一定成对共轭的。
当A(s)的阶次高于B(s)时,则应首先用分母B(s)去除分子A(s),由此得到一个s的多项式,再加上一项具有分式形式的余项,其分子s多项式的阶次就化为低于分母s多项式阶次了。
(1)分母B(s)无重根此时,F(s)总可以展成简单的部分分式之和。
即,式中,ak(k=1,2,n)是常数,系数ak称为极点s=-pk处的留数。
2.2.5拉普拉斯反变换,ak的值可以用在等式两边乘以(s+pk),并把s=-pk代入的方法求出。
即,2.2.5拉普拉斯反变换,在所有展开项中,除去含有ak的项外,其余项都消失了,因此留数ak可由下式得到,因为f(t)时间的实函数,如p1和p2是共轭复数时,则留数1和2也必然是共轭复数。
这种情况下,上式照样可以应用。
共轭复留数中,只需计算一个复留数1(或2),而另一个复留数2(或1),自然也知道了。
2.2.5拉普拉斯反变换,例题1求F(s)的拉氏反变换,已知,解,由留数的计算公式,得,2.2.5拉普拉斯反变换,因此,查拉氏变换表,得,2.2.5拉普拉斯反变换,解:
分母多项式可以因子分解为,进行因子分解后,可对F(s)展开成部分分式,2.2.5拉普拉斯反变换,例题2求L-1F(s),已知,2.2.5拉普拉斯反变换,由留数的计算公式,得,由于2与1共轭,故,所以,2.2.5拉普拉斯反变换,2.2.5拉普拉斯反变换,查拉氏变换表,得,
(2)分母B(s)有重根若有三重根,并为p1,则F(s)的一般表达式为,式中系数2,3,n仍按照上述无重根的方法(留数计算公式),而重根的系数11,12,13可按以下方法求得。
2.2.5拉普拉斯反变换,2.2.5拉普拉斯反变换,依此类推,当p1为k重根时,其系数为:
例题3已知F(s),求L-1F(s)。
2.2.5拉普拉斯反变换,由上述公式,2.2.5拉普拉斯反变换,查拉氏变换表,有,2.2.5拉普拉斯反变换,因此,得:
利用拉氏变换解微分方程的步骤:
(1)对给定的微分方程等式两端取拉氏变换,变微分方程为s变量的代数方程。
(2)对以s为变换的代数方程加以整理,得到微分方程求解的变量的拉氏表达式。
对这个变量求拉氏反变换,即得在时域中(以时间t为参变量)微分方程的解。
采用拉氏反变换的方法,可以求得线性定常微分方程的全解(补解和特解)。
求解微分方程,可以采用数学分析方法(经典方法),也可以采用拉氏变换方法。
采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的,许多情况下应用更为方便。
2.2.5拉普拉斯反变换,例题解方程,利用拉氏变换解常系数线性微分方程,其中:
解:
将方程两边取拉氏变换,得,将代入,并整理,得,所以,
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