上海市浦东新区学年高二第一学期期末质量测试数学试题Word下载.docx
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9.若数列
是首项为1,公比为
的无穷等比数列,且
各项的和为
,则
的值是____.
10.设
的最大值是____
11.在△
中,
,则线段
长的最小值为____________.
二、单选题
12.直线
关于直线
对称的直线方程是( )
A.
B.
C.
D.
13.用数学归纳法证明
,在证明
等式成立时,等式的左边是
C.
14.下列方程是圆
的切线方程的是()
15.已知
,点
是
边上的动点,点
边上的动点,则
的最小值为()
三、解答题
16.已知向量
.
(1)当
,求向量
的夹角大小.
(2)
∥
,求实数
的值.
17.已知定点
,动点
满足行列式
,求线段
的中点
的轨迹方程
18.在直角坐标平面内,
、
分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,
对任意正整数n,
.
(1)若实数
,求
;
(2)设
证明点
在直线
上.
19.已知点
(
)上,点
在函数
图像上,过
作
轴的垂线,垂足为
,
时,数列
前
项和是
,设
(2)当
时,设
20.一束光从从光源
射出,经
轴反射后(反射点为
),射到线段
上
处.
(1)若
,求光从
出发,到达点
时所走过的路程;
(2)若
,求反射光的斜率的取值范围;
(3)若
时所走过的最短路程.
参考答案
1.
【解析】
试题分析:
根据题意,由于直线
的斜率为y=x-1,即可知斜率为1,借助于特殊角的正切值为1可知,其倾斜角为
,故答案为
考点:
直线的斜率与倾斜角
点评:
本题考查直线的斜率与倾斜角的关系,是基础题.
2.3
【分析】
利用两条平行直线间的距离公式可得:
,可得到答案。
【详解】
由两条平行直线间的距离公式可得:
.
【点睛】
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
3.(2,1)
由直线
,可以知道直线方程为
,从而可以得到直线的方向向量。
由题意知,
,故直线
的一个方向向量可以是
本题考查了直线的方向向量的求法,直线Ax+By+C=0的一个方向向量是
,属于简单题。
4.m≠±
2
因为方程组有唯一解,所以
,即
,所以填
5.
分别求出直线
的法向量和它经过的一个点
,即可写出它的点法向式方程.
由题意知
是直线
的法向量,且直线
经过点
,故边
所在直线的点法向式方程为
本题考查直线的法向量,直线的点法向式方程,属于基础题.
6.1或2
利用两直线垂直的充要条件,列方程求解即可。
,解得
或者
直线
垂直的充要条件:
7.
先求出圆的圆心和半径
,然后求出圆心到直线
的距离
,则弦AB的长度为
圆的方程为:
,圆心
到直线
的距离为
则弦AB的长度为
本题考查了圆的标准方程,点到直线的距离公式,圆中弦长的计算,属于基础题.
8.
由向量
方向上的投影为
,代入计算即可得到答案.
因为向量
,所以
本题考查了向量的坐标运算,向量的数量积,及一个向量在另一个向量上的投影,考查了学生分析能力及计算能力,属于基础题.
9.2
由无穷等比数列
,结合等比数列的前n项和公式列方程求解即可.
,且
各项的和
或
,因为
,所以只有
满足题意.
本题主要考查了等比数列的前n项和公式与极限思想,属于基础题.
10.
设
,可得
,代入
中,可以得到关于
的一元二次方程,令
,即可求出
的范围,进而得到
的最大值。
可得
则关于
的一元二次方程有解,
即
解得
故
的最大值是
本题主要考查了利用函数法求最值的问题,解题的关键就是构造一个一元二次方程,根据判别式求范围,属于中档题。
11.
由
,可以求出
,由
,即可求出答案.
则
,(当且仅当
,即2
时取“=”.)
,即线段
长的最小值为
本题考查向量的数量积,向量的模,向量在几何中的应用,及基本不等式求最值,属于中档题.
12.A
所求直线的斜率与直线
的斜率互为相反数,且在
处有公共点,求解即可。
的交点为
,则所求直线过点
因为直线
的斜率为
,所以所求直线的斜率为
故所求直线方程为
故答案为A.
本题考查了直线的斜率,直线的方程,直线关于直线的对称问题,属于基础题。
13.D
知,
时,等式的左边是
,即可得到答案.
,故答案为D.
本题考查了数学归纳法的步骤,考查了学生对基础知识的掌握情况,在平常学习中要重视基础知识.
14.C
已知圆的圆心为
,半径为1,圆心
只有到直线
的距离为1,即此直线与圆相切.故选C.
直线与圆的位置关系.
15.C
建立直角坐标系,
,即可得到
,结合m,n的范围即可求出最小值.
如图建立平面直角坐标系,
因为
的最小值
故答案为C.
本题考查了向量的坐标表示,向量的数量积,向量在平面几何中的应用,属于基础题.
16.
(1)
(1)由
,求解即可;
(2)由平行向量的性质列方程求解即可.
(1)设向量
的夹角为
∵
∴
,∴
,即向量
.
本题考查了向量夹角的求法,考查了平行向量的性质,属于基础题.
17.
点
上,设
,由中点坐标公式可得
,代入圆
即可得到答案.
,
为所求点
的轨迹方程.
代入法求轨迹方程,适合已知的轨迹方程的点与所求动点有固定关系,用所求轨迹方程的点的坐标表示已知轨迹方程的点的坐标,然后代入已知的轨迹方程,从而求出动点的坐标所满足的方程.
18.
(1)
=
(2)见解析
(1)将
代入,由
,即可求出答案;
(2)由
,可知
,结合
,得到
,进而可以求出
的坐标
,即可证明点
上.
(1)
(2)设
所以
满足方程
,所以点
本题考查了向量的坐标表示及运算,考查了点与直线的位置关系,属于基础题,解题时要认真审题,注意挖掘题中的条件.
19.
(1)
(1)由题意知
),可知
是等比数列,进而可以求出
,可得到答案;
(2)先求出
,进而可知道
是以
为首项,
为公比的等比数列,结合
及等比数列的前
项和公式,可求出
时,
当
(n
)是以
为公比的等比数列,n=1时,
也符合题意.
本题考查了数列与函数的综合问题,考查了数列的极限,考查了三角形的面积公式,属于中档题.
20.
(1)
(2)
(3)
(1)求出
关于
轴的对称点
,进而可以求出反射光线所在直线
,从而可以求出
,求出
即可;
(2)将
代入线段
中,结合
,可求出反射光斜率的取值范围;
(3)分析可知反射光与直线
垂直时,光所走过的路程最短,可求出反射光线所在直线的方程,进而求出反射直线与
的交点,然后分别讨论交点在线段上与不在线段上,可求出对应的最短路程.
,则此时
所以光所走过的路程即
(2)对于线段
,令其端点
,所以反射光斜率的取值范围是
(3)若反射光与直线
垂直,光所走过的路程最短,则由
①当
时,光所走过的最短路程为点
的距离,
所以路程
②当
时,光所走过的最短路程为线段
,其中
综上:
本题考查了直线的方程,考查了点关于直线的对称问题,考查了斜率问题,距离问题,属于中档题.
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