周世勋量子力学习题答案第六章散射Word文档下载推荐.docx
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令,不难把矢径波动方程化为
再作变换,得
这是一个贝塞尔方程,它的解是
其中
注意到在时发散,因而当时波函数
,不符合波函数的标准条件。
所以必须有
故
现在考虑波函数在处的渐近行为,以便和在时的渐近行为比较,而求得相角位移,由于:
当很小时,即较小时,把上式展开,略去高次项得到
又因
注意到
如果取单位半径的球面上的两点来看
则,即有
微分散射截面为
由此可见,粒子能量愈小,则较小的波对微分散射截面的贡献愈大;
势能常数愈大,微分散射截面也愈大。
2.慢速粒子受到势能为
的场的散射,若,求散射截面。
[解]慢速粒子的德布罗意波长很长,所以只需要考虑S分波。
在处,方程为
在处,则有
而波函数是
在的情况下,只故虑S分波,即的情况,上面两个方程变为
其解分别为
当时,
由于在时,有限,但
即
在处,波函数及其微商必须连续,因此得出
用前式除后式可得
因此S分波的辐射截面是
当速度较小时,,可以近似地认为
这时有
假如,相当于在受到球形无限深势阱散射的情况,这时由于
3.只考虑S分波,求慢速粒子受到势能的场散射时的散射截面。
[解]当只考虑,即S分波时,令,则x满足的方程是:
为了解此方程,作如下代换,令,由于
可将原方程化为
为了化简方程,再作变换,令
注意到
方程可以化为
这是阶的贝塞尔方程,它的解是
式中表示第一类汉克尔函数,按定义为
当时,
当时
而
当很大时,
另一方面
散射截面
上述解的条件是
即
亦即要求
4.用玻恩近似法求粒子在势能场中散射时的散射截面。
[解]按玻恩近似法计算微分散射截面的公式
而[见教材(55-23)式]
其中,为入射粒子方向和散射粒子方向之间的夹角。
在本题中
又
5.利用玻恩近似法求粒子在势能
场中散射的微分散射截面,式中
[解]由势能的形状容易看出,计算时只需计算由的积分即可。
6.用玻恩近似法求在势能场中散射时的微分散射截面,并讨论在什么条件下,可以应用玻恩近似法。
[解]
(1)求微分散射截面
(2)讨论玻恩近似法可以应用的条件。
显然,这个条件是。
由教材(55-25)式和(55-26)式
或
这就是玻恩近似法的适用条件。
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