初中数学九大几何模型解题思路.docx
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初中数学九大几何模型解题思路
九大几何模型
、手拉手模型----旋转型全等
(1)等边三角形
D
【条件】:
△OAB^□AOCD均为等边三角形;
AED
【结论】:
①厶OAC^AOBD②∠AEB=60:
③OE平分∠
【条件】:
△OAB^□AOCD均为等腰直角三角形;
【结论】:
①厶OAC^AOBD②∠AEB=90:
③OE平分∠
AED
E
D
、模型二:
手拉手模型----旋转型相似
(1)一般情况
【条件】:
CD//AB,
将厶OCD旋转至右图的位置
O
O
JD
E
A
【结论】:
①右图中△OC3AOAB÷→→AOASAOBD
②延长AC交BD于点E,必有∠BEC=∠BOA
(2)特殊情况
A
【条件】:
CD//AB,∠AOB=90
将厶OCD旋转至右图的位置A
【结论】:
①右图中△OC3AOAB÷→→AOASAOBD
②延长AC交BD于点E,必有∠BEC=∠BOA
③ACODOBtan∠OCD④BD丄AC
⑤连接ADBC,必有AD2BC2AB2
CD:
⑥SAbcd
三、模型三、对角互补模型
(1)全等型-90°
【条件】:
①∠AOB∠DCE=90:
②OC平分∠
AOB
【结论】:
①CD=CE②OD+OE=2OC③Sadce
证明提示:
①作垂直,如图2,证明△CDM^△CEN
②过点C作CF⊥OC
如图3,证明△ODBAFEC
※当∠DCE的一边交
Ao的延长线于D时(如图4):
SAOCDS
以上三个结论:
①
CD=CE②OE-ODw2OC
③SAOCESAOCD
(2)全等型-120°
【条件】:
①∠AOB=∠DCE=120:
②OC平分∠AoB
【结论】:
①CD=CE②OD+OE=OC③SMCeSAOCdS^OCE—OC2
4
证明提示:
①可参考“全等型-90°”证法一;
②如右下图:
在OB上取一点F,使OF=OC证明△OCF为等边三角形。
(3)全等型-任意角α
【条件】:
①∠AOB=2ι,∕DCE=18O-2a;②CD=CE
【结论】:
①OC平分∠AOB②OD+OE=2OCcosa;
③SADCESAOCDSAOCEOCSinαCOSα
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时(如右下图):
原结论变成:
①
②;
③。
可参考上述第②种方法进行证明。
请思考初始条件的变化对模型的影响。
对角互补模型总结:
①常见初始条件:
四边形对角互补,注意两点:
四点共圆有直角三角形斜边中线;
四、模型四:
角含半角模型90°
(1)角含半角模型90°---1
【条件】:
①正方形ABCD②∠EAF=45°;
也可以这样:
【条件】:
①正方形ABCD②EF=DF+BE
(2)角含半角模型90°---2
【条件】:
①正方形ABCD
②∠EAF=45°
【结论】:
①EF=DF-BE
(3)角含半角模型90°---3
【条件】:
①Rt△ABC②∠DAE=45;
222
【结论】:
BDCEDE(如图1)
(4)角含半角模型90°变形
【条件】:
①正方形ABCD②∠EAF=45°
【结论】:
△AHE为等腰直角三角形;
证明:
连接AC(方法不唯一)
τ∠DAC=/EAF=45,
∙∙∙∠DAH∠CAE又τ∠ACB玄ADB=45;
DA
AH
AC
AE
•△AHE^△ADC•△AHE为等腰直角三角形
模型五:
倍长中线类模型
(1)倍长中线类模型---1
【条件】:
①矩形ABCD②BD=BE
③DF=EF
【结论】:
AF⊥CF
模型提取:
①有平行线AD//BE②平行线间线段有中点DF=EF
可以构造“8”字全等厶ADF^△HEFO
(2)倍长中线类模型---2
【条件】:
①平行四边形ABCD②BC=2AB③AM=DM④CE⊥AB;
【结论】:
∠EMD=∠MEA
辅助线:
有平行AB//CD有中点AM=DM延长EM构造△AME≤^DMF连接CM构造
模型六:
相似三角形360°旋转模型
(1)相似三角形(等腰直角)360°旋转模型---倍长中线法
【条件】:
①厶ADE△ABC均为等腰直角三角形;②EF=CF
【结论】:
①DF=BF②DF⊥BF
辅助线:
延长DF到点G使FG=DF连接CGBGBD,证明△BDG为等腰直角三角形;
【条件】:
①厶OAB^AODC②∠OAB∠ODC=90:
③BE=CE
【结论】:
①AE=DE②∠AED=∠ABO
B'
(2)最短路程模型二(点到直线类1)
【条件】
:
①OC平分∠AoB②M为OB上一定点;③P为OC上一动点;④Q为OB上一动点;
将作Q关于OC对称点Q',转化PQ=PQ过点M作MH⊥OA
(3)最短路程模型二(点到直线类2)
【条件】:
A(0,4),B(-2,0),P(0,n)
.:
5
【问题】:
n为何值时,PBPA最小?
5
E,即为
求解方法:
①X轴上取C(2,0),使Sin∠OAC亠;②过B作BD⊥AC交y轴于点
5
1
所求;③tan∠EBO=tan/OACd,
2
(4)最短路程模型三(旋转类最值模型)
【条件】:
①线段OA=4OB=2②OB绕点0在平面内360°旋转;
【问题】:
AB的最大值,最小值分别为多少?
【结论】:
以点O为圆心,OB为半径作圆,如图所示,将问题转化为
“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
最大值:
OA+OB最小值:
OA-OB
【条件】:
①线段OA=4OB=2②以点O为圆心,OBOC为半径作圆;
③点P是两圆所组成圆环内部(含边界)一点;
②OC=2③OA=1;④点P为BC上动点(可与端点重合);
⑤厶OBC绕点O旋转
—1—
【结论】:
PA最大值为OA+OB=23;PA的最小值为一OBOA,31
2
如下图,圆的最小半径为O到BC垂线段长。
模型八:
二倍角模型
【条件】:
在厶ABC中,∠B=2∠C;
BA、CA、
辅助线:
以BC的垂直平分线为对称轴,作点A的对称点A,连接AA、
则BA=AA=CA(注意这个结论)
此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一,不是唯一作法。
C
模型九:
相似三角形模型
(1)相似三角形模型
--基本型
平行类:
DE//
BC;
字型
字型
字型
8
A
结论:
AD
AE
AC
DE(注意对应边要对应)
(2)相似三角形模型
---斜交型
【条件】:
如右图,∠
AED=ZACB=90
【结论】:
AE×AB=AC C 【条件】: 如右图,∠ACE=ZABC 【结论】: AC=AE×AB B双垂型C 斜交型 C 第四个图还存在射影定理: AE×EC=B(×AC;BC=BE×BACE=AE×BE; 【条件】: (1) 图: ∠ABC=ZACE玄CDE=90 (2) 图: ∠ABC=ZACE玄CDE=60 (3) 图: ∠ABC=ZACE玄CDE=45 (3)相似三角形模型---一线三等角型 【结论】: ①△ABC^△CDE②ABXDE=B×CD 一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。 【条件】: (2) 图: PA为圆的切线; 【结论】: (1) 图: PAXPB=P(×PD; (2) 图: 2 PA=PCKPB; (3) 图: PAXPB=P(×PD; (4)相似三角形模型---圆幕定理型 以上结论均可以通过相似三角形进行证明。
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