高三数学一轮复习教案函数全Word文件下载.docx

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函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.

考试热点：

①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

函数概念

（一）知识梳理

1．映射的概念

设

是两个集合，如果按照某种对应法则

，对于集合

中的任意元素，在集合

中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从

到

的映射，通常记为

，f表示对应法则

注意：

⑴A中元素必须都有象且唯一；

⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

（1）函数的定义：

是两个非空的数集，如果按照某种对应法则

中的每一个数

，在集合

中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从

的一个函数，通常记为

（2）函数的定义域、值域

在函数

中，

叫做自变量，

的取值范围

叫做

的定义域；

与

的值相对应的

值叫做函数值，函数值的集合

称为函数

的值域。

（3）函数的三要素：

定义域、值域和对应法则

3．函数的三种表示法：

图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：

就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：

就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

（3）．解析法：

就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：

映射的概念

例1．

（1）

，

；

（2）

（3）

．

上述三个对应是

的映射．

例2．若

，则

的映射有个，

的函数有个

例3．设集合

，如果从

的映射

满足条件：

对

中的每个元素

与它在

中的象

的和都为奇数，则映射

的个数是（）

8个

12个

16个

18个

答案：

1.

（2）；

2．81,64,81；

3.

考点2：

判断两函数是否为同一个函数

例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）

（n∈N*）；

（4）

（5）

[答案]

（1）、

（2）、（4）不是；

（3）、（5）是同一函数

考点3：

求函数解析式

方法总结：

（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数

的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出

题型1：

由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数

满足

，求

（三种方法）

例2．（09湖北改编）已知

=

的解析式可取为

题型2：

求抽象函数解析式

例1．已知函数

考点4：

求函数的定义域

求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：

如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的

的取值范围，实际操作时要注意：

①分母不能为0；

②对数的真数必须为正；

③偶次根式中被开方数应为非负数；

④零指数幂中，底数不等于0；

⑤负分数指数幂中，底数应大于0；

⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；

⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：

研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例1.（08年湖北）函数

的定义域为（）

A.

;

B.

C.

D.

求复合函数和抽象函数的定义域

例1．（2007·

湖北）设

A.

B.

例2．已知函数

的定义域为

的定义域

例3．已知

的定义域是

，求函数

例4．已知

的定义域是（-2，0），求

的定义域（-3<

x<

-1）

考点5：

求函数的值域

1．求值域的几种常用方法

（1）配方法：

对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

如求函数

，可变为

解决

（2）基本函数法：

一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

如函数

就是利用函数

和

的值域来求。

（3）判别式法：

通过对二次方程的实根的判别求值域。

的值域

（4）分离常数法：

常用来求“分式型”函数的值域。

如求函数

的值域，因为

（5）利用基本不等式求值域：

（6）利用函数的单调性求求值域：

（7）图象法：

如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数

的最小值。

（－48）

（9）对勾函数法像y=x+

，（m>

0）的函数，m<

0就是单调函数了

三种模型：

（1）如

，求

（1）单调区间

（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x

[-1,0）

（0,4],求值域

（2）如

，求

（1）[3,7]上的值域

（2）单调递增区间（x

0或x

4）

（3）如

，

（1）求[-1,1]上的值域

（2）求单调递增区间

函数的单调性

1、函数的单调性定义：

设函数

，区间

，如果对于区间

内的任意两个值

，当

时，都有

，那么就说

在区间

上是单调增函数，

称为

的单调增区间；

如果对于区间

上是单调减函数，

的单调减区间。

如果用导数的语言来，那就是：

，如果在某区间

上

，那么

为区间

上的增函数；

如果在某区间

上的减函数；

2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；

②导数法（在区间

内，若总有

为增函数；

反之，若

内为增函数，则

（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意

型函数的图象和单调性在解题中的运用：

增区间为

，减区间为

.

（3）复合函数法：

复合函数单调性的特点是同增异减

（4）若

在定义域内都是增函数（减函数），那么

在其公共定义域内是增函数（减函数）。

3、单调性的说明：

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；

（2）函数单调性定义中的

有三个特征：

一是任意性；

二是大小，即

三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数

分别在

内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即

内是单调递减的，只能说函数

的单调递减区间为

。

4、函数的最大（小）值

，如果存在定值

，使得对于任意

，有

恒成立，那么称

为

的最大值；

如果存在定值

考点1函数的单调性

讨论函数的单调性

例1．

（1）求函数

的单调区间；

（2）已知

若

试确定

的单调区间和单调性．

解：

（1）单调增区间为：

单调减区间为

令

，得

或

，令

∴单调增区间为

例2.判断函数f（x）=

在定义域上的单调性.

函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},

则f（x）=

可分解成两个简单函数.

f（x）=

=x2-1的形式.当x≥1时，u（x）为增函数，

为增函数.

∴f（x）=

在［1，+∞）上为增函数.当x≤-1时，u（x）为减函数，

为减函数，

在（-∞,-1］上为减函数.

研究抽象函数的单调性

的一切实数，对定义域内的任意

都有

，且当

时

（1）求证：

是偶函数；

在

上是增函数；

（3）解不等式

（1）令

，∴

，令

，得∴

∴

是偶函数．

（2）设

∵

，即

上是增函数．

是偶函数∴不等式

可化为

又∵函数在

上是增函数，∴

，解得：

即不等式的解集为

题型3：

函数的单调性的应用

例1．若函数

在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数

的取值范围是______（答：

））；

上为增函数，则实数

的取值范围_____（答：

）；

考点2函数的值域（最值）的求法

求最值的方法：

（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。

（2）利用函数的单调性求最值：

先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。

（3）基本不等式法：

当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。

（4）导数法：

当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：

画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。

求分式函数的最值