第二章 一阶逻辑Word文件下载.docx
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讲述
谓词逻辑是以谓词为基础的,类似以命题为基础的命题逻辑首先从命题开始,我们这里也必须先从谓词开始。
在谓词逻辑中,需要将简单命题拆开,作为最为简单的命题的陈述句,至少有主语和谓语组成,谓词就是句子中相当谓语部分的词,而把主语对应的部分称为个体词。
板书:
一、个体词
可以独立存在的具体或抽象的客体。
个体常项(a,b,c…)、个体变项(x,y,z…)
个体域:
个体变项的取值范围。
全总个体域:
将宇宙间的一切事物组成个体域。
二、谓词
表示个体词性质的或个体词之间相互关系的词
谓词常项:
表示具体性质或关系的谓词,用F、G、H…表示
谓词变项:
表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词,也用F、G、H…表示
n元谓词:
含有n个个体的谓词
n=0,0元谓词,不含有任何个体变项的谓词
n=1,1元谓词,以此类推。
。
示例1:
H(a),a:
张华,H(x):
“…是学生”
H(x)是1元谓词,不是命题,H(a)是0谓词,是命题,
示例2:
小魏乘机去深圳;
设a:
小魏,b:
飞机,c:
深圳;
P(x,y,z):
x乘y去z;
P(a,b,c)
提问:
如何分析下列公式:
F(a),F(x),F(x,y),F(a,b),P(x1,x2,。
xn)
实质上:
n元谓词P(x1,x2,。
xn)可以看成以个体域为定义域,以{T,F}为值域的n元函数。
当P为谓词常项,a1,a2,。
an为个体常项时,P(a1,a2,。
an)才是命题。
示例3:
(1)所有的人都要死的
(2)有的人活百岁以上
这两个命题中,除了个体词和谓词外,还有表示数量的词,称为量词
2量词
A全称量词
对应日常语言中的“一切”、“所有的”、“任意的”等词,以符号表示。
xF(x)表示个体域里的所有个体都有性质F。
B存在量词
对应日常语言中的“存在着”、“有一个”、“至少有一个”等词,用符号表示。
形成的命题公式为xF(x),即“存在x值,使F(x)为真”。
符号化之前必须先明确个体域
第一种情况,个体域D为人类集合。
(1)xF(x),其中F(x):
x是要死的
(2)xG(x),其中G(x):
x活百岁以上
第二种情况,个体域为全总个体域
这时必须引入一个特性谓词,M(x):
x是人
(1)x(M(x)F(x)),其中F(x):
(2)x(M(x)G(x)),其中G(x):
使用量词时,注意以下几点:
(1)在不同的个体域中,命题符号化的形式可能不一样。
(2)如果事先没有给出个体域,以全总个体域为个体域。
(3)引入特性谓词后,使用全称量词与存在量词符号化的形式是不同的。
(4)个体域和谓词的含义确定之后,n元谓词要转化为命题至少需要n个量词。
例如:
xP(x,y,z)是二元谓词,因为若D={a1,a2,…,an},xP(x,y,z)P(a1,y,z)P(a2,y,z)…P(an,y,z)
(5)当个体域为有限集时,如D={a1,a2,…,an},对于任意的谓词A(x),有
xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)
这就是将谓词逻辑中命题公式转化为命题逻辑中的命题公式问题,叫做
消去量词等价式
(6)多个量词同时出现时,不能随意颠倒它们的顺序。
比如:
对于任意的x,存在着y,使得x+y=5。
取个体域为实数集。
命题符号化为:
xyH(x,y),其中,H(x,y):
x+y=5。
这是真命题
如果将量词颠倒,变为yxH(x,y),意义与原意不符,成了假命题。
例:
求下列各式的真值
(1)
其中个体域
;
一元谓词
,
(2)
(3)
零元谓词
个体常元
解根据量词的含义,,我们有:
(2)
下面举几个例子说明如何将命题符号化
例1:
将下列命题符号化
(1)所有的人都长着黑头发。
(2)有的人登上过月球。
(3)没有人登上过火星。
(4)在美国留学的学生未必都是华人。
解:
本题没有指明个体域,我们这里采用全总个体域。
并设一元谓词
是人。
(1)设
长着黑头发。
命题符号化为
这是个假命题。
(2)设
登上过月球。
或者
这是个真命题。
(3)设
登上过火星。
(4)设
是在美国留学的学生,
是华人。
例2:
(1)兔子比乌龟跑的快
(2)有的兔子比所有的乌龟跑的快
(3)并不是所有的兔子都比乌龟跑得快
(4)不存在跑得同样快的两只兔子
例3:
(1)火车比轮船快.
(2)有些汽车比所有火车慢.
解:
1F(x):
x是火车,G(x):
x是轮船,H(x,y):
x比y快。
xy(F(x)G(y)H(x,y))
2F(x):
x是汽车,G(x):
x是火车,H(x,y):
x比y慢。
x(F(x)y(G(y)H(x,y))或者xy(F(x)(G(y)H(x,y))
形式逻辑中有:
**是***,**不是***两句话,例如,“张三是教授”和“张三不是教授”。
若其中一句是正确的,另一句就肯定不正确。
请你构造出同时为真的两个句子。
如:
有些自然数是偶数,有些自然数不是偶数;
xF(x)x﹁F(x)
例4:
当
趋向
时,函数
以
为极限的定义:
“任给
,存在
,当
时,有
”。
以实数集为个体域将该极限定义符号化。
解令二元谓词
大于
,则
表示:
所以该极限定义表示为
作业:
P53,2.2,2.3
2.2一阶逻辑合式公式及解释
[教学重点]公式解释与赋值的意义,等值演算的规则
使学生理解公式解释和赋值的含义。
熟习掌握等值演算的规则。
理解并学会应用一阶语言及其中的逻辑符号化的规则。
[课时安排]二课时
上节讨论了谓词逻辑的谓词、量词、及符号化问题,按照命题逻辑讲述的顺序,下面需要涉及合式公式基本概念、公式的解释和分类,然后是等值演算,最后就是推理理论。
一、谓词公式
1)字母表:
个体常元:
a,b,c,,ai,bi,ci,(i≥1);
个体变元:
x,y,z,,xi,yi,zi,(i≥1);
函数符号:
f,g,h,,fi,gi,hi,(i≥1);
谓词符号:
F,G,H,,Fi,Gi,Hi,(i≥1);
量词符号:
;
联结词:
∧,∨,,;
括号和逗号:
(,),٫。
2)项的递归定义:
a)个体常项和个体变项是项;
b)如果x1,x2,,xn是项,则fi(x1,x2,,xn)是项,其中fi(x1,x2,,xn)是x1,x2,,xn的函数;
c)只有有限次地使用
(1)
(2)生成的符号串才是项。
3)合式公式(谓词公式):
原子公式:
若P为不能再分解的一元或n元谓词,P(x)或P(x1,x2,,xn)为原子公式。
合式公式的递归定义为:
(1)原子公式为合式公式;
(2)若A为合式公式,则A也是;
(3)若A、B为合式公式,则AB、AB、AB、AB也是;
(4)若A为合式公式,x为任意变元,则xA、xA也是;
(5)只有有限次应用1)-4)构成的符号串,才是合式公式。
说明表达式P(f(a),b)∧(x)(P(f(x),g(x,f(x))Q(x))
二、自由与约束
在合式公式xA和xA中,称x为指导变项,A为相应量词的辖域。
在辖域中,x的所有出现称为约束出现,A中不是约束出现的其他变项的出现称为自由出现。
约束变元:
约束出现的变元
自由变元:
非约束变元的变元。
∀x(P(x)→Q(y))∧R(y)
答:
∀的辖域是P(x)→Q(y),指导变元是x。
整个公式中,x是约束出现,受∀x的约束,y是自由出现
(∀xP(x,y)→R(y,z))∨∃yQ(y)
∀的指导变元是x,辖域是P(x,y)
(∀xP(x,y)→R(y,z))中,是x约束出现且受∀x的约束,y,z是自由出现。
∃yQ(y)中,∃的指导变元是y,辖域是Q(y),y是约束出现。
整个公式中,x约束出现,y既有约束出现又有自由出现,z是自由出现。
在一个公式中,某一个体变元既可以自由出现,又可以约束出现。
为了研究方便,而不致引起混淆,我们希望一个个体变元在同一个公式中只以一种身份出现,应用下面两条规则可以做到这一点。
1、约束变元的换名规则
将量词辖域中出现的某个约束变元及相应的指导变元,换成一个在辖域中未曾出现过的个体变元名。
公式的其余部分不变。
(∀xP(x,y)→R(y,z))∨∃yQ(y)
用ω代替∃yQ(y)中出现的y,变成
(∀xP(x,y)→R(y,z))∨∃ωQ(ω)
2、自由变元的替换规则
对于谓词公式中出现该自由变元的每一处,都使用同一个未在公式中出现过的变元替代。
(∀xP(x,y)→R(y,z))∨∃yQ(y)
用ω代替(∀xP(x,y)→R(y,z))中的y:
(∀xP(x,ω)→R(ω,z))∨∃yQ(y)
如果合式公式A中无自由变元,则称A是封闭的。
三、闭式
设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是封闭的合式公式,简称闭式。
闭式的重要性质:
闭式在任何解释下不是真就是假,不可能给出解释I,使得闭式在I下真值不确定,这是闭式的一个重要特征。
例如:
xyH(x,y),xy(F(x)∧F(y)→┑L(x,y)),x(F(x)→G(x))∧F(a)→G(a)都是闭式。
将下列两个公式中的变项指定为常项使其成为命题:
(1)x
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