初等函数的性质研究Word文件下载.docx
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但在中学数学的课堂教学中,学生学习函数难也是为广大师生“认可”的学习障碍,学完了一个一个的函数、一条一条的性质,却始终弄不清楚:
笔者通过多年从事中学数学的教学,认为其原因是未能对函数及其性质作系统化的研究、整理,函数的性质总是零散的、感性的,没有得到提升,因而造成运用函数思考问题的意识和解决问题的能力比较差,久而久之,成为学习的障碍。
在此,笔者对初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数筹)的性质进行研究、整理,以期引起师生们的重视、改善初等函数的教学。
一、函数的定义域
函数的定义域是研究函数问题的关键,是函数研究的前提环境,函数的实质决定于定义域和对应法则。
没有函数的定义域,函数研究无从谈起。
如果不加以特别的说明,函数
的定义域指,能使
有意义的实数x的集合。
由函数的解析式求函数定义域的方法依据主要有:
①分式的分母、零指数幂的底数均不能为零;
②偶次根式的被开方数不能为负;
③对数的底数大于零而不等于1,真数大于零;
④三角函数与反三角函数存在;
⑤如果
中有以上各部份等,则应为满足各部份的x的集合的交集;
⑥对实际问题应结合其实际意义予以考虑。
例1.求函数
的定义域。
解:
由“
”知:
∴所求定义域为:
∴
例2.已知函数
的定义域是(
),求a。
显然
a=0时,成立;
a≠0时,△=4a(4a-3)
或
则:
a>
0a<
△<
0△<
解得:
0<
a<
∴a
[0,
)
除此之外,还有求复合函数的定义域等有关函数定义域运算或证明的题型。
二、函数的值域
函数的值域决定于函数的定义域和对应法则,是全体函数值所组成的集合。
因此,要求值域,必先求其定义域。
常见的方法或技巧有:
①配方法;
②函数性质法;
③反函数法;
④数形结合法;
⑤换元法等。
例1.求
的值域。
本题直接求值域显然比较困难,故利用“函数”与其“反函数”的定义域、值域互换关系来求。
由
得
∴原函数的反函数为:
∴所求值域为{
}
(事实上:
如果
,则
即
,即
因此
例2.求
,则:
即:
y≤4
∴所求值域为(
,4)
三.、零值点
在对函数进行研究时,我们总是要关注使函数取得特殊值的一些“特值点”,尤其是使函数值为0的x值,或者说明书函数图象上的纵坐标为0的点,即与x轴的交点,称之为“零值点”。
例:
的零值点为:
(2,0),(3,0)。
但有的函数没有零值点(或为
,
),例如函数
,其零值点为(
,0)。
对零值点的研究可以沟通方程、函数曲线及不等式之间的关系,在数学教学中意义很大。
四、符号区间
如果函数y=f(x)在(a,b)上有f(x)>0或f(x)<0,则称(a,b)为函数y=f(x)的一个符号区间。
求函数y=x2-5x+6的符号区间。
令x2-5x+6=0,求得零值点时:
X1=2,X2=3
经分析(或由图象)可知:
函数y=x2-5x+6在(-∞,2)和(3,+∞)上:
y>0;
在(2,3)上:
y<0。
∴其符号区间为:
(-∞,2),(2,3),(3,+∞)
(由此可知:
不等式x2-5x+6>0的解集为(-∞,2)U(3,+∞),x2-5x+6<0的解集为:
(2,3))。
五、最值
在生产科研和日常生活中,常遇到“多、快、好、省”的问题,就是求函数的最值问题。
函数的最值是函数值变化的极端状态,它既能加深对函数性质的认识,又能解决广泛的数学应用问题,因而在高考中也占有重要地位。
在中学数学中,常见求最值的方法有配方法、换元法、数形结合法、不等式法等。
例,已知y=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值是a2,求a。
∵-x2-2ax≤a2
-(x+a)2+a2≤a2
-(x+a)2≤0
∴x+a=0
∴a=-x,而0≤X≤1
∴-1≤a≤0
教学中,应该充分注意到“求最值”与“求极值”以及“求值域”三者之间的联系与区别。
六、单调性
在中学数学中,“单调性”是指严格单调性,即:
对y=f(x),x
[a,b],任取x1、x2
[a,b],且设x1<x2,则:
f(x1)<f(x1)(f(x2)>
f(x2)),就称y=f(x)在[a,b]上具有单调性,是增(减)函数,[a,b]称为一个单调区间。
最常见的函数单调性的判定或证明方法有:
定义法,图象法等,利用单调性,我们可以比较函数值的大小、求最值等。
在研究单调性时,定义域始终起着关键作用,需要强调的是,求定义域必须用原来的表达式。
例1,比较0.230.712和0.230.713的大小。
∵指数函数y=0.23x在其定义域内是减函数.
而:
0.712<0.713
∴0.230.712>0.230.713
例2:
已知f(x)=8+2x-x2,g(x)=f(2-x2),求g(x)的单调区间。
令u=2-x2则:
g(x)=8+2u-u2
∵u=2-x2在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数。
又:
f(u)=8+2u-u2在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数。
而u<1得
>1;
u>1得
<1
∴g(x)的单调区间为:
增区间:
(-∞,-1)、[1,+∞];
减区间:
[-1,1]
可列表(略)。
七、奇偶性
已知函数y=f(x),对于任意x:
若f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数;
若f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数;
函数y=f(x)是偶函数或奇函数,则称y=f(x)具有奇偶性。
对奇偶性的理解,应注意:
定义域的对称性、函数值的对称性和图象的对称性。
而奇偶性的判定首先应看定义域是否对称,然后再根据定义判定;
也可以根据其四则运算规律进行判定;
还可以利用函数图象判定。
在判定时,应先对函数进行化简。
由f(x)=lg(4+x)+lg(4-x)知其定义域为
,具有对称性,而:
f(-x)=lg(4-x)+lg(4+x)=f(x)
∴f(x)是偶函数,不是奇函数。
八、周期性
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得对于任意x,有f(x+T)=f(x),则称y=f(x)为周期函数,T叫做这个函数的周期。
显然,如T为周期,则可kT(k
Z)也是f(x)的周期,其中若有最小正数,则称为最小正周期。
特别,最小正周期有时不一定存在,如f(x)=c(常数)的周期为任意正数,无最小者。
已知数列{an}中任何相邻三项之和为20,且a4=9,a12=7,求a8。
据题意得:
an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3
∴an=an+3
∴数列{an}以3为周期
∴a7=a4=9,a9=a12=7
a7+a8+a9=20
∴a8=4
九、连续性(间断性)
对于函数y=f(x),若在点x0处可导,且
(x0)=f(x0),则称函数在点x0处连续,否则称为间断。
例如:
y=tanx当x=
(k
Z)时,y=tanx不存在,故x=
Z)为其间断点。
显然平行直线簇x=
Z)为其渐近线簇。
又如:
y=
,x=0为其间断点,考虑到其值域为{y│y≠0},因此其渐近线为直线x=0(y轴)和y=0(x轴)。
以上仅为本人对初等函数性质的初步研究和粗浅的认识,毫无深度可言。
但是,若能在中学数学教学中,坚持不懈引导学生以此研究每一个函数,在研究完每一个函数之后又能这样系统地加以整理、归纳、思考,并能结合函数的图象,综合运用,“用性质作图象,由图象观性质。
“那么,这样的教学必将使学生不仅学会,而且学得愉快。
正所谓“授之以鱼,不如授之以渔”。
参考文献:
普通高中《数学课程标准》(实验,人教版)
傅荣强主编《函数》
朱宗贵《函数》
李应林《集合与函数》
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- 初等 函数 性质 研究