运筹学基础及应用(第五版)-(第一章)线性规划及单纯形法PPT文件格式下载.ppt

运筹学基础及应用(第五版)-(第一章)线性规划及单纯形法PPT文件格式下载.ppt

《运筹学基础及应用(第五版)-(第一章)线性规划及单纯形法PPT文件格式下载.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《运筹学基础及应用(第五版)-(第一章)线性规划及单纯形法PPT文件格式下载.ppt（98页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

,2022/10/10,8,简写形式：

2022/10/10,9,矩阵形式表示为：

其中：

2022/10/10,10,1.3线性规划问题的标准形式,标准形式：

标准形式特点：

4.决策变量取值非负。

1.目标函数为求极大值；

2.约束条件全为等式；

3.约束条件右端常数项全为非负；

2022/10/10,11,一般线性规划问题如何化为标准型：

1.目标函数求极小值：

令：

，即化为：

2022/10/10,12,2.约束条件为不等式：

（2）当约束条件为“”时,如：

可令：

，显然,称为松弛变量。

称为剩余变量。

2022/10/10,13,松弛变量和剩余变量统称为松弛变量,（3）目标函数中松弛变量的系数,由于松弛变量和剩余变量分别表示未被充分利用的资源以及超用的资源，都没有转化为价值和利润，因此在目标函数中系数为零。

2022/10/10,14,3.取值无约束的变量,如果变量x代表某产品当年计划数与上一年计划数之差，显然x的取值可能是正也可能是负，这时可令：

2022/10/10,15,例.将下述线性规划模型化为标准型,2022/10/10,16,解：

令,得标准形式为：

2022/10/10,17,求解线性规划问题：

就是从满足约束方程组和约束不等式的决策变量取值中，找出使得目标函数达到最大的值。

1.4线性规划问题的解的概念,2022/10/10,18,可行解：

满足约束条件的解称为可行解，可行解的集合称为可行域。

2022/10/10,19,例：

考察下述线性规划问题：

2022/10/10,20,

（2）基,系数矩阵A：

其中,或,2022/10/10,21,（3）基向量、基变量,（4）基解、基可行解、可行基,是对应于基,的一个基解、基可行解。

是对应于基,的一个基解、基可行解。

均是可行基。

练习：

P14，例4,2022/10/10,22,为了便于建立n维空间中线性规划问题的概念及便于理解求解一般线性规划问题的单纯形法的思路，先介绍图解法。

求解下述线性规划问题：

2线性规划问题的图解法,2022/10/10,23,画出线性规划问题的可行域：

2022/10/10,24,1、可行域：

约束条件所围成的区域。

2、基可行解：

对应可行域的顶点。

3、目标函数等值线：

4、目标函数最优值:

最大截距所对应的。

目标函数等值线有无数条，且平行。

（观察规律）,2022/10/10,25,解的几种情况：

（2）无穷多最优解,

（1）唯一最优解,若目标函数改为：

约束条件不变，则:

2022/10/10,26,解的几种情况：

（4）无界解,（3）无可行解：

当可行域为空集时，无可行解。

若目标函数不变，将约束条件1和3去掉，则可行域及解的情况见下图。

目标函数等值线,此时，目标函数等值线可以向上无穷远处平移，Z值无界。

2022/10/10,27,几点说明：

1、图解法只能用来求解含有两个决策变量的线性规划问题。

2、若最优解存在，则必在可行域的某个顶点处取得。

3、线性规划问题的解可能是：

唯一最优解、无穷多最优解、无最优解、无界解。

2022/10/10,28,3单纯形法原理,凸集：

如果集合C中任意两个点，其连线上的所有点也都是集合C中的点。

上图中

（1）

（2）是凸集，（3）（4）不是凸集,顶点：

如果对于凸集C中的点X，不存在C中的任意其它两个不同的点，使得X在它们的连线上，这时称X为凸集的顶点。

3.1预备知识,2022/10/10,29,3.2线性规划问题基本定理,定理1:

若线性规划问题存在可行解，则问题的可行域是凸集。

证明:

设是线性规划的任意两个可行解，则,于是对于任意的，设，则,所以也是问题的可行解，即可行域是凸集。

2022/10/10,30,引理:

线性规划问题的可行解X为基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量线性无关。

设

（1）必要性显然。

（2）设A的秩为m。

可行解X的前k个分量为正，且它们对应的系数列向量线性无关，则。

当时，恰好构成一组基，而就是这组基对应的基可行解。

当时，在基础上从其余列向量中可以找出个线性无关的向量，恰好构成一组基，而X就是这组基对应的基可行解。

2022/10/10,31,定理2:

线性规划问题的基可行解X对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点。

问题即是要证明:

X是基可行解X是可行域顶点，也即要证明其逆否命题：

X不是基可行解X不是可行域顶点。

（1）X不是基可行解X不是可行域顶点。

假设X是可行解，但不是基可行解，X的前k个分量为正,其余分量为0，则有又X不是基可行解，所以由引理知，正分量对应的列向量线性相关。

即存在一组不全为零的数，使得,2022/10/10,32,用非零常数乘以上式得：

（1）+（3）得：

（1）-（3）得：

令选择合适的，使得所有的于是均是可行解，并且，所以X不是可行域顶点。

2022/10/10,33,

（2）X不是可行域顶点X不是基可行解。

设不是可行域的顶点，因而可以找到可行域内另两个不同的点，使得，用分量表示即为：

易知，当时，必有所以,所以,于是

（1）-

（2）得,而不全为零，于是知线性相关，X不是基可行解。

2022/10/10,34,定理3:

若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解。

引理：

有界凸集中的任何一点均可表示成顶点的凸组合。

假设是可行域顶点，不是可行域顶点，且目标函数在处达到最优，即。

由引理知：

可表示为的凸组合，即,因此,假设是所有中最大者，则,2022/10/10,35,而是目标函数的最大值，所以也是最大值，也即，目标函数在可行域的某个顶点达到了最优。

从上述三个定理可以看出，要求线性规划问题的最优解，只要比较可行域（凸集）各个顶点对应的目标函数值即可，最大的就是我们所要求的最优解。

2022/10/10,36,3.3确定初始基可行解,寻求最优解的思路：

线性规划问题的最优解一定会在基可行解中取得，我们先找到一个初始基可行解。

然后设法转换到另一个基可行解，并使得目标函数值不断增大，直到找到最优解为止。

设给定线性规划问题：

2022/10/10,37,因此约束方程组的系数矩阵为：

添加松弛变量得其标准形为：

2022/10/10,38,由于该矩阵含有一个单位子矩阵，因此，这个单位阵就是一组基，就可以求出一个基可行解：

说明：

如果约束条件不全是形式，如含所有形式，则无法找到一个单位阵做为一组基，这时需要添加人工变量。

后面的内容介绍。

称其为初始基可行解。

2022/10/10,39,3.4从初始基可行解转换为另一个基可行解,思路：

对初始基可行解的系数矩阵进行初等行变换，构造出一个新的单位矩阵，其各列所对应的变量即为一组新的基变量，求出其数值，就是一个新的基可行解。

设有初始基可行解，并可设前m个分量非零，即，于是,2022/10/10,40,由构造初始可行基的方法知前m个基向量恰好是一个单位阵，所以约束方程组的增广矩阵为,由于任意系数列向量均可由基向量组线性表示，则非基向量中的用基向量组线性表示为：

2022/10/10,41,设有，则,

（1）+

（2）得：

由此式可知，我们找到了满足约束方程组的另一个解，,要使其成为可行解，只要对所有i=1,2,m，下式成立,要使其成为基可行解，上面m个式中至少有一个取零。

（基可行解中非零分量的个数不超过m个。

）,（与比较）,2022/10/10,42,只要取,于是前m个分量中的第l个变为零，其余非负，第j个分量为正，于是非零分量的个数，并可证得线性无关，所以是新的基可行解。

2022/10/10,43,3.4最优性检验和解的判别,设有基可行解,比较两者对应的目标函数值，哪一个更优？

2022/10/10,44,2）若对所有的，则，就是最优解。

1）当时，目标函数值得到了改进，不是最优解，需要继续迭代。

易知,2022/10/10,45,当所有时，现有顶点对应的基可行解即为最优解。

当所有时，又对某个非基变量有则该线性规划问题有无穷多最优解。

3.如果存在某个，又向量的所有分量，对任意，恒有，则存在无界解。

结论,2022/10/10,46,4单纯形法的计算步骤,设有线性规划问题：

2022/10/10,47,

（1）找到初始可行基，建立初始单纯形表.,（4）重复二、三两步，直至找到最优解。

4单纯形法的计算步骤,

（2）进行最优性检验。

计算检验数，若所有0则得最优解，结束.否则转下步.若某0而0，则最优解无界，结束.否则转下步.,（3）从一个可行解转换到另一个目标函数值更大的基可行解。

由最大增加原则确定进基变量；

由最小比值原则选择出基变量；

以为主元素进行换基迭代。

2022/10/10,48,

（1）找到初始可行基，建立初始单纯形表.,是初始基。

2022/10/10,49,

（2）进行最优性检验计算检验数，若所有0则得最优解，结束.否则转下步.若某0而0，则最优解无界，结束.否则转下步.,检验数的计算方法：

基变量的检验数一定为0。

判断是否达到最优时，只要考虑非基变量检验数。

2022/10/10,50,（3）从一个可行解转换到另一个目标函数值更大的基可行解。

由最小比值原则选择出基变量；

进基变量,由最大增加原则确定进基变量：

当某些非基变量的检验数时，为使目标函数值增加地更快，一般选择正检验数中最大者对应的非基变量进基，成为新的基变量。

为确保新的基可行解的非零分量非负，按下述规则求得最小比值，其所对应的原基变量中的出基。

于是，新的一组基是：

2022/10/10,51,以为主元素进行换基迭代：

即利用初等行变换将进基变量所在的系数列变为单位列向量，而变为1。

这样原来基矩阵中的就不再是单位向量，取而代之的是，这样就找到了一组新的基。

（4）重复二、三两步，直至找到最优解。

若目标函数是求最小，可以不必将其转变为求最大，但在使用单纯形法求解时，确定进基变量，应找负检验数中最小者，并应以检验数全部为正作为判别最优的条件。

2022/10/10,52,maxZ=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5x1+x3=82x2+x4=123x1+4x2+x5=36x1，x2，x3，x4，x50,解将模型标准化,例maxZ=3x1+5x2x182x2123x1+4x236x1，x20,2022/10/10,53,作出单纯形表，进行迭代,检验数最大,比值最小,2022/10/10,54,2022/10/10,55,最优解:

X*=（4,6,4,0,0）T