习题反常积分的收敛判别法知识分享Word文件下载.docx
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发散.
设在上有,且.则当收敛时,也收敛;
但当发散时,可能发散,也可能收敛.
发散,而对于,则当时发散,当时收敛.
⒉证明Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3).
证定理8.2.3(Cauchy判别法)设在上恒有,是正常数.
⑴若,且,则收敛;
⑵若,且,则发散.
推论(Cauchy判别法的极限形式)设在上恒有,且
则
⑵若,且,则发散.
证直接应用定理8.2.2(比较判别法)及其推论(比较判别法的极限形式),将函数取为.
⒊讨论下列非负函数反常积分的敛散性:
⑴
;
⑵
⑶
⑷
().
解
(1)当时,
~,
所以积分收敛.
(2)当时,
(3)因为当时有
而积分发散,所以积分发散.
(4)当时,
所以在时,积分收敛,在其余情况下积分
⒋证明:
对非负函数,收敛与收敛是等价的.
证显然,由收敛可推出收敛,现证明当时可由收敛推出收敛.
由于收敛,可知极限
存在而且有限,由Cauchy收敛原理,
于是与,成立
与,
这说明积分与都收敛,所以积分收敛.
⒌讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散,下同):
();
⑸
(和分别是和次多项式,
在范围无零点.)
解
(1)因为有界,在单调,且,由Dirichlet判别法,积分收敛;
由于,而积分
发散,收敛,所以积分发散,即积分条件收敛.
(2)当时,,而收敛,所以当时积分
绝对收敛;
当时,因为有界,在单调,且,由Dirichlet判别法,积分收敛;
但因为当时积分发散,所以当时积分条件收敛.
(3)当时,,而收敛,所以当时积分绝对收敛;
但因为当时积分发散,所以当时积分
条件收敛.
(4)令,,由于条件收敛,可知积分条件收敛.
(5)当且充分大时,有,可知当时积分绝对收敛.
当时,因为有界,且当充分大时,单调且,由Dirichlet判别法可知收敛;
但由于当时,~,易知发散,所以当时,积分条件收敛.
当时,由,为非零常数、或,易知积分发散.
⒍设在只有一个奇点,证明定理8.2.和定理8.2..
定理8.2.(Cauchy判别法)设在上恒有,若当属于的某个左邻域时,存在正常数,使得
⑴,且,则收敛;
⑵,且,则发散.
证
(1)当时,积分收敛,由反常积分的Cauchy收敛原理,
由于,所以收敛.
(2)当时,积分发散,由反常积分的Cauchy收敛原理,
由于,所以发散.
证
(1)由(),可知
,:
再应用定理8.2.的
(1).
(2)由(),可知
再应用定理8.2.的
(2).
定理8.2.若下列两个条件之一满足,则收敛:
⑴(Abel判别法)收敛,在上单调有界;
⑵(Dirichlet判别法)在上有界,在上单调且.
证
(1)设,因为收敛,由Cauchy收敛原理,
由积分第二中值定理,
(2)设,于是,有.因为,,,,有.由积分第
二中值定理,
所以无论哪个判别法条件满足,由Cauchy收敛原理,都有收敛的结论.
⒎讨论下列非负函数反常积分的敛散性:
⑹
⑺
解
(1)因为~,~,所以积分收敛.
(2)因为,且对任意,,即当充分小时,有,所以积分收敛.
(3)因为~,~,所以积分发散.
(4)因为~,所以当时积分收敛,当时积分发散.
(5)首先对任意的与任意的,有,即当充分小时,有;
且~.所以当时,积分收敛,当时,积分发散.
(6)~,~,所以在时积分收敛,在其余情况下积分
(7)~,且
,即当充分小时,有
,所以当时积分收敛,在其余情况下积分发散.
⒏讨论下列反常积分的敛散性:
();
;
⑻
解
(1).
当,时积分与积分显然收敛,且当时,
即不是反常积分,所以积分收敛.
(2)
因为
所以积分收敛;
由此可知积分收敛.
(3).
由~,可知当时,积分收敛,当时,积分发散;
当时,,即当充分大时,有
,其中,可知当时,积分收敛,当时,积分发散;
综上所述,当时,积分收敛,在其余情况下积分发散.
(4).
由~,可知当时积分收敛;
由~,可知当时积分收敛.
所以当时积分收敛,在其余情况下积分
(5).
由~,可知当时积分收敛,当时积分发散;
由~,可知积分收敛.
所以当时积分收敛,当时积分
(6).
由于积分收敛,及~,所以当时积分收敛,当时积分发散.
(7).
当时,显然积分发散;
当时,由于
~,~,
所以当,且时积分收敛,其余情况下积分发散.
(8)设,则对任意的,当充分大时,有,因为,可知积分收敛.
设,则对任意的,当充分大时,有,因为,可知积分发散.
设,令,则,由此可知当或时积分收敛,在其余情况下积分发散.
⒐讨论下列反常积分的敛散性:
(5)
;
(6)
().
由~,~,可知当时积分收敛,在其余情况下积分发散.
(2)当时,由,可知积分绝对收
敛.
当时,因为有界,当充分大时单
调减少,且,由Dirichlet判别法,积分收敛;
但因为积分发散,所以当时积分条
件收敛.
当时,由于时不趋于零,可知积分
由~,可知当时积分收敛,在其余情况下积分发散.
当时,易知积分发散;
当时,易知积分发散.
当时,因为,单调减少,且,由Dirichlet判别法;
可知积分收敛.
综上所述,当时,积分条件收敛,在其余情况下积分发散.
当时,显然积分收敛;
当时,易知积分发散.
当时,因为,可知有界,且单调减少,,由Dirichlet判别法,可知积分
收敛.
综上所述,当时积分绝对收敛,当时积分条件收敛,在其余情况下积分发散.
(5)令,则
于是可知当时积分绝对收敛;
当时积分条件收敛,当时积分发散.
(6)当时,因为,可知积分绝对收敛.
当时,因为,而级数
发散,所以积分发散;
又因为
,注意到当充分大时,与都是单调减少的,由Dirichlet判别法可知积分收敛,所以积分条件收敛.
10.证明反常积分收敛.
证对任意,由分部积分法,
显然,当时,等式右端的三项都趋于零,由Cauchy收敛原理,可知反常积分收敛.
11.设单调,且当时,证明:
收敛的必要条件是.
证首先由的单调性,对于充分小的,有
由Cauchy收敛原理,,于是得到
12.设收敛,且在上单调减少,证明:
证首先容易知道当时,单调减少趋于,于是有
,且
然后由Cauchy收敛原理,,于是得到
13.设单调下降,且,证明:
若在上连续,则反常积分收敛.
证首先由分部积分法,
由于有界,单调下降,且,由
Dirichlet判别法,可知积分收敛,从而积分收敛.
14.设绝对收敛,且,证明收敛.
证首先由,可知,,有,即当时,
成立.因为积分绝对收敛,于是由比较判别法,
积分收敛.
15.若收敛,则称在上平方可积(类似可定义无界函数在上平方可积的概念).
⑴对两种反常积分分别探讨平方可积与的反常积分收敛之间的关系;
⑵对无穷区间的反常积分,举例说明,平方可积与绝对收敛互不包含;
⑶对无界函数的反常积分,证明:
平方可积必定绝对收敛,但逆命题不成立.
解
(1)收敛不能保证收敛,例如:
则收敛,但发散;
收敛不能保证收敛,例如:
,则
收敛,但发散.
(2)收敛不能保证绝对收敛,例如:
,则收敛,但不是绝对收敛的;
绝对收敛不能保证收敛,例如:
,则绝对收敛,但发散.
(3)由,可知收敛保证绝对收敛;
但绝对收敛不能保证收敛,例如:
绝对收敛,但发散.
16.证明反常积分
当时发散,当时条件收敛,当时绝对收敛.
证当时,对充分大的,有,由于积分
收敛,可知积分绝对收敛.
当时,利用等式
这时积分收敛;
积分当时收敛,当发散.
当时,由于,因为级数发散,所以积分发散.
综上所述,当时,积分条件收敛;
当时,积分发散.
当时,因为有,由
Cauchy收敛原理,可知积分发散.
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