推荐初二数学经典难题及答案Word格式文档下载.docx
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,在△PQA中,
∠APQ=180°
-30°
-75°
=∠PAQ=∠PAB,于是PQ=AQ=AB,
显然△PAQ≌△PAB,得∠PBA=∠PQA=30°
,
PB=PQ=AB=BC,∠PBC=90°
=60°
,所以△ABC是正三角形。
2.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F.求证:
∠DEN=∠F.
证明:
连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.
又点N为CD的中点,则GN=AD/2;
GN∥AD,∠GNM=∠DEM;
(1)
同理:
GM=BC/2;
GM∥BC,∠GMN=∠CFN;
(2)
又AD=BC,则:
GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:
∠DEM=∠CFN.
3、如图,分别以△ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.求证:
点P到边AB的距离等于AB的一半.
证明:
分别过E、C、F作直线AB的垂线,垂足分别为M、O、N,
在梯形MEFN中,WE平行NF
因为P为EF中点,PQ平行于两底
P
C
G
F
B
Q
A
D
E
所以PQ为梯形MEFN中位线,
所以PQ=(ME+NF)/2
又因为,角0CB+角OBC=90°
=角NBF+角CBO
所以角OCB=角NBF
而角C0B=角Rt=角BNF
CB=BF
所以△OCB全等于△NBF
△MEA全等于△OAC(同理)
所以EM=AO,0B=NF
所以PQ=AB/2.
4、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.求证:
∠PAB=∠PCB.
过点P作DA的平行线,过点A作DP的平行线,两者相交于点E;
连接BE
因为DP//AE,AD//PE
所以,四边形AEPD为平行四边形
所以,∠PDA=∠AEP
已知,∠PDA=∠PBA
所以,∠PBA=∠AEP
所以,A、E、B、P四点共圆
所以,∠PAB=∠PEB
因为四边形AEPD为平行四边形,所以:
PE//AD,且PE=AD
而,四边形ABCD为平行四边形,所以:
AD//BC,且AD=BC
所以,PE//BC,且PE=BC
即,四边形EBCP也是平行四边形
所以,∠PEB=∠PCB
所以,∠PAB=∠PCB
5.P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a正方形的边长.
解:
将△BAP绕B点旋转90°
使BA与BC重合,P点旋转后到Q点,连接PQ
因为△BAP≌△BCQ
所以AP=CQ,BP=BQ,∠ABP=∠CBQ,∠BPA=∠BQC
因为四边形DCBA是正方形
所以∠CBA=90°
,所以∠ABP+∠CBP=90°
,所以∠CBQ+∠CBP=90°
即∠PBQ=90°
,所以△BPQ是等腰直角三角形
所以PQ=√2*BP,∠BQP=45
因为PA=a,PB=2a,PC=3a
所以PQ=2√2a,CQ=a,所以CP^2=9a^2,PQ^2+CQ^2=8a^2+a^2=9a^2
所以CP^2=PQ^2+CQ^2,所以△CPQ是直角三角形且∠CQA=90°
所以∠BQC=90°
+45°
=135°
,所以∠BPA=∠BQC=135°
作BM⊥PQ
则△BPM是等腰直角三角形
所以PM=BM=PB/√2=2a/√2=√2a
所以根据勾股定理得:
AB^2=AM^2+BM^2
=(√2a+a)^2+(√2a)^2
=[5+2√2]a^2
所以AB=[√(5+2√2)]a
6.一个圆柱形容器的容积为V立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。
向容器中注满水的全过程共用时间t分。
求两根水管各自注水的速度。
设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4x。
由题意得:
解之得:
经检验得:
是原方程解。
∴小口径水管速度为,大口径水管速度为。
7.如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(-2,),且P(,-2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴,QB垂直于y轴,垂足分别是A、B.
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上是否存在这样的点Q,使得△OBQ与△OAP面积相等?
如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;
(3)如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.
(1)设正比例函数解析式为,将点M(,)坐标代入得,所以正比例函数解析式为
同样可得,反比例函数解析式为
(2)当点Q在直线DO上运动时,
设点Q的坐标为,
于是,
而,
所以有,,解得
所以点Q的坐标为和
(3)因为四边形OPCQ是平行四边形,所以OP=CQ,OQ=PC,
而点P(,)是定点,所以OP的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值.
因为点Q在第一象限中双曲线上,所以可设点Q的坐标为,
由勾股定理可得,
所以当即时,有最小值4,
又因为OQ为正值,所以OQ与同时取得最小值,
所以OQ有最小值2.
由勾股定理得OP=,所以平行四边形OPCQ周长的最小值是
8.如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB.
(1)求证:
①PE=PD;
②PE⊥PD;
(2)设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
②当x取何值时,y取得最大值,并求出这个最大值.
解:
(1)证法一:
①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°
.
∵PC=PC,
∴△PBC≌△PDC(SAS).
∴PB=PD,∠PBC=∠PDC.
又∵PB=PE,
∴PE=PD.
②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
∵PB=PE,
∴∠PBE=∠PEB,
∴∠PEB=∠PDC,
∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°
∴∠DPE=360°
-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°
∴PE⊥PD.)
(ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD.
(iii)当点E在BC的延长线上时,如图.
∵∠PEC=∠PDC,∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°
∴PE⊥PD.
综合(i)(ii)(iii),PE⊥PD.
(2)①过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=FE.
∵AP=x,AC=,
∴PC=-x,PF=FC=.
BF=FE=1-FC=1-()=.
∴S△PBE=BF·
PF=().
即(0<x<).
②.
∵<0,
∴当时,y最大值.
(1)证法二:
①过点P作GF∥AB,分别交AD、BC于G、F.如图所示.
∵四边形ABCD是正方形,
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形,
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.
∴GD=FC=FP,GP=AG=BF,∠PGD=∠PFE=90°
.
又∵PB=PE,
∴BF=FE,
∴GP=FE,
∴△EFP≌△PGD(SAS).
②∴∠1=∠2.
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°
∴∠DPE=90°
∴PE⊥PD.
(2)①∵AP=x,
∴BF=PG=,PF=1-.
∴当时,y最大值.
9、如图,直线y=k1x+b与反比例函数y=k2x的图象交于A(1,6),B(a,3)两点.
(1)求k1、k2的值.
(2)直接写出k1x+b-k2x>0时x的取值范围;
(3)如图,等腰梯形OBCD中,BC∥OD,OB=CD,OD边在x轴上,过点C作CE⊥OD于点E,CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形OBCD的面积为12时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由.
10、如图12,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为.
(1)求的值;
(2)若双曲线上一点的纵坐标为8,求的面积;
(3)过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标.
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