考研数学一真题与答案Word格式文档下载.docx
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6.设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为()
7.设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布函数,则()
8.设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为,记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为()
0.1.2.3.
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
9.设函数具有二阶连续偏导数,,则。
10.若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为,则非齐次方程满足条件的解为。
11.已知曲线,则。
12.设,则。
13.若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为。
14.设为来自二项分布总体的简单随机样本,和分别为样本均值和样本方差。
若为的无偏估计量,则。
三、解答题(15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
1.(本题满分9分)求二元函数的极值。
2.(本题满分9分)设为曲线与所围成区域的面积,记
,求与的值。
3.(本题满分11分)椭球面是椭圆绕轴旋转而成,圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成。
(Ⅰ)求及的方程
(Ⅱ)求与之间的立体体积。
4.(本题满分11分)
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:
若函数在上连续,在可导,则存在,使得
(Ⅱ)证明:
若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且。
5.(本题满分10分)计算曲面积分,其中是曲面
的外侧。
6.(本题满分11分)
设
(Ⅰ)求满足的.的所有向量,.
(Ⅱ)对中的任意向量,证明,,无关。
7.(本题满分11分)
设二次型
(Ⅰ)求二次型的矩阵的所有特征值;
(Ⅱ)若二次型的规范形为,求的值。
8.(本题满分11分)
袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求二维随机变量概率分布。
9.(本题满分11分)
设总体的概率密度为,其中参数未知,,,…是来自总体的简单随机样本
(Ⅰ)求参数的矩估计量;
(Ⅱ)求参数的最大似然估计量
2009年考研数学一真题解析
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(1)当时,与等价无穷小,则()
【答案】
【解析】为等价无穷小,则
故排除。
另外存在,蕴含了故排除。
所以本题选A。
(2)如图,正方形被其对角线划分为
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
两区域关于轴对称,而,即被积函数是关于的奇函数,所以;
两区域关于轴对称,而,即被积函数是关于的偶函数,所以;
.所以正确答案为A.
(3)设函数在区间上的图形为:
【答案】
【解析】此题为定积分的应用知识考核,由的图形可见,其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数,从而可得出几个方面的特征:
①时,,且单调递减。
②时,单调递增。
③时,为常函数。
④时,为线性函数,单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点,可见正确选项为。
(4)设有两个数列,若,则()
【解析】
方法一:
举反例A取
B取
D取
故答案为(C)
方法二:
因为则由定义可知使得时,有
又因为收敛,可得则由定义可知使得时,有
从而,当时,有,则由正项级数的比较判别法可知收敛。
(5)设是3维向量空间的一组基,则由基到基
【解析】因为,则称为基到的过渡矩阵。
则由基到的过渡矩阵满足
所以此题选。
(6)设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,则分块矩阵的伴随矩阵为()
【解析】根据,若
分块矩阵的行列式,即分块矩阵可逆
故答案为(B)
(7)设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布函数,则()
【答案】
【解析】因为,
所以,
所以
而,
所以。
(8)设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为,记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为()
【答案】B
独立
(1)若,则
(2)当,则
为间断点,故选(B)
二、填空题:
9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)设函数具有二阶连续偏导数,,则。
,
(10)若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为,则非齐次方程满足条件的解为。
【解析】由,得,故
微分方程为
设特解代入,
特解
把,代入,得
所求
(11)已知曲线,则。
【解析】由题意可知,,则
(12)设,则。
由轮换对称性可知
(13)若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为。
【答案】2
的非零特征值为2.
(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本,和分别为样本均值和样本方差。
【解析】为的无偏估计
三、解答题:
15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)求二元函数的极值。
故
则
而
二元函数存在极小值
(16)(本题满分9分)设为曲线与所围成区域的面积,记
【解析】由题意,与在点和处相交,
从而
由取得
(17)(本题满分11分)椭球面是椭圆绕轴旋转而成,圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成。
(I)的方程为,
过点与的切线为,
所以的方程为。
(II)记,由,记,
(18)(本题满分11分)
(Ⅰ)作辅助函数,易验证满足:
;
在闭区间上连续,在开区间内可导,且。
根据罗尔定理,可得在内至少有一点,使,即
(Ⅱ)任取,则函数满足;
在闭区间上连续,开区间内可导,从而有拉格朗日中值定理可得:
存在,使得……
又由于,对上式(*式)两边取时的极限可得:
故存在,且。
(19)(本题满分10分)计算曲面积分,其中是曲面
【解析】,其中
①
②
③
①+②+③=
由于被积函数及其偏导数在点(0,0,0)处不连续,作封闭曲面(外侧)
有
(20)(本题满分11分)
求满足的.的所有向量,.
对中的任意向量,证明,,无关。
(Ⅰ)解方程
故有一个自由变量,令,由解得,
求特解,令,得
故,其中为任意常数
解方程
故有两个自由变量,令,由得
求特解故,其中为任意常数
由于
故线性无关.
(21)(本题满分11分)设二次型
(Ⅰ)
(Ⅱ)若规范形为,说明有两个特征值为正,一个为0。
1)若,则,,不符题意
2)若,即,则,,符合
3)若,即,则,,不符题意
综上所述,故
(22)(本题满分11分)
(Ⅰ)在没有取白球的情况下取了一次红球,利用压缩样本空间则相当于只有1个红球,2个黑球放回摸两次,其中摸了一个红球
(Ⅱ)X,Y取值范围为0,1,2,故
X
Y
1
2
1/4
1/6
1/36
1/3
1/9
(23)(本题满分11分)
设总体的概率密度为,其中参数未知,,,…是来自总体的简单随机样本
(Ⅰ)求参数的矩估计量;
(1)由
而为总体的矩估计量
(2)构造似然函数
取对数
令
故其最大似然估计量为
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