几何图形的基本模型Word格式文档下载.docx
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位置关系是
(2)如图②,把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,AB﹥AC,其中,其它条件不变,上述结论还成立吗?
请说明理由。
(3)如图③,在
(2)的基础上,又作了进一步的探究,向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明。
模型二:
双子型(手拉手模型)——相似
(1)一般情况
CD∥AB(ΔOCD∽ΔOAB),将ΔOCD旋转至右图位置
右图中①ΔOCD∽ΔOAB⇔ΔOAC∽ΔOBD②延长AC交BD于点E,必有∠AEB=∠AOB③点E在ΔOAB的外接圆上。
(2)特殊情况
CD∥AB(ΔOCD∽ΔOAB),∠AOB=∠COD=900将ΔOCD旋转至右图位置
右图中①ΔOCD∽ΔOAB⇔ΔOAC∽ΔOBD②延长AC交BD于点E,必有∠AEB=900(BD⊥AC)
③连接AD,BC,则SABCD=
AC×
BD④
⑤点E在ΔOAB的外接圆上(A,O,E,B四点共圆)⑥必有AD2+BC2=AB2+CD2
以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=300
(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接FM、EM.
1如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,
=
2如图2,将图1中△AOB的绕点O沿顺时针方向旋转α角(00<α<600),其他条件不变,判断
的值是否发生变化,并对你的结论进行证明
(3)如图3,若B0=3
,点N在线段OD上,且NO=2.点P是线段AB上的一个动点,在将
ΔOAB绕点0旋转过程中,线段PN长度的最小值为,最大值为。
=
模型三:
对角互补模型
(1)全等型-900
条件:
①∠AOB=∠DCE=900②OC平分∠AOB
结论:
①CD=CE②OD+OE=
OC③
当∠DCE的一边交AO的延长线于点D时
①CD=CE②OE-OD=
OC③SΔOCE-SΔOCD=
OC2
(2)全等型-1200
①∠AOB=2∠DCE=1200②OC平分∠AOB
①CD=CE②OD+OE=OC③
例题1如图,D为等边ΔABC外一点,若∠BDC=1200,求证:
AD平分∠BDC
(典型例题:
等边三角形+对角互补,求证角平分线)
例题2如图,D为等边ΔABC外一点,若AD平分∠BDC,求证:
∠BDC=1200
等边三角形+角平分线,求证对角互补)
例题3如图,D为等边ΔABC外一点(BD<CD),若∠BAC=600,,若∠BDC=1200
AD平分∠BDC,求证:
AB=AC
对角互补+角平分线,求证等边三角形)
模型四:
角含半角模型900
(1)角含半角模型900-1
①正方形ABCD;
②∠EAF=450
①EF=DF+BE②ΔCEF周长是正方形ABCD周长的一半③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF
也可以这样:
①正方形ABCD②EF=DF+BE
①∠EAF=450
(2)角含半角模型900-2
①EF=DF–BE
(3)角含半角模型900-3
①等腰直角ΔABC②∠DAE=450
BD2+CE2=DE2
若∠DAE旋转到ΔABC外部时,结论BD2+CE2=DE2仍然成立
(4)角含半角模型900-变形
②∠EAF=450
①ΔAHE为等腰直角三角形②A、B、E、H四点共圆③G、E、F、H四点共圆
例题1已知,正方形ABCD中,∠MAN=450绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N
(1)当∠MAN绕点A旋转到如图1的位置时,求证:
BM+DN=MN
(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),则线段BM,DN和MN之间的数量关系是
(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样数量关系呢?
并对你的猜想加以说明。
例题2如图,抛物线y=ax2+bx+4过A(2,0),B(4,0)两点,交轴于y轴点C,过点C作x轴的平行线与抛物线的另一交点为D,连接AC,BC。
点P是抛物线上的一动点,设点P的横坐标为m(m﹥4)。
(1)求抛物线的函数解析式和的∠ACB正切值。
(2)若∠ACP=450,求m的值
模型五:
倍长中线模型
(1)倍长中线类模型-1
①矩形ABCD②BD=BE③DF=EF
AF⊥CF
(2)倍长中线类模型-2
①平行四边形ABCD②BC=2AB③AM=DM④CE⊥AD
∠EMD=3∠MEA
例1已知:
如图,ΔABC中,AB=4,AC=6,AD为BC边上的中线,则线段AD的取值范围是
例2如图:
已知ΔABC中,AD是中线,AE是BD的中线,BA=BD,求证:
AC=AE
模型六:
(1)相似三角形模型——基本型
DE∥BC
①ΔADE∽ΔABC②
③
(2)相似三角形模型——反A型
∠ACD=∠B条件:
∠ADE=∠B
①ΔACD∽ΔABC②AC2=AD˙AB结论:
①ΔADE∽ΔABC②
(2)相似三角形模型——直角母子型(射影定理)
AC⊥BC,CD⊥AB
①AC2=AD˙AB②BC2=BD˙AB③CD2=AD˙BD
(3)相似三角形模型——一线三等角型(K型相似)
∠B=∠ACE=∠D
①ΔABC∽ΔCDE②AB˙DE=BC˙CD(一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系式)
特别地,当C为DB中点时,ΔABC∽ΔCDE∽ΔACE
(4)相似三角形模型——圆幂定理型
图2图3
如图1,相交弦定理:
PA˙PB=PC˙PD
如图2,切割线定理:
PA2=PB˙PC
如图3,割线定理:
例题1如图,ΔABC和ΔDEC均为直角三角形。
∠ACB=∠DCE=900,AC=
BC=
CD=
CE=1.将ΔDEC绕点C在平面内顺时针旋转,设旋转角为∠BCD为α(00α<3600),作直线BD,连接AD,当点B,D,E在同一直线上时,画出图形,并求线段AD的长
例题2在ΔABC和ΔADE中,BA=BC,DA=DE,且∠ACE=∠ADE,点E在ΔABC的内部,连接EC,EB和BD,设EC=k˙DB(k≠0).
(1)当∠ACE=∠ADE=600时,如图1,请求出k值,并给予证明
(2)当∠ACE=∠ADE=900时,
1如图2,
(1)中的k值是否发生变化,如无变化,请给予证明;
如有变化,请求出
k值,并说明理由。
2如图3,当D,E,C三点共线,且E为DC中点时,请求出tan∠EAC的值
模型七:
十字架模型
(1)正方形内的十字架型
①正方形ABCD②BF⊥AE(EF⊥GH)
AE=BF(EF=GH)
(3)矩形内的十字架型
①矩形ABCD②BD⊥CE(EF⊥GH)
(
)
例题1如图,在正方形ABCD上,H在BC上,EF⊥AH于点G,交AB于点E交DC于点F。
若AB=3,BH=1求EF的长
例题2将边长为12cm的正方形ABCD折叠,使得点A落在边CD上的E点,然后压平得折痕FG,若GF的长为13cm,则线段CE的长为
例题3如图,若BA=BC=6,DA=DC=8,∠BAD=900,DE⊥CF,请求出DE:
FC的值
模型八:
“定边对定角”模型
“定边对定角”动点成“隐圆”
AB为定值,点P为动点,且∠APB=a(a为定角)
①点P在以AB为弦的圆弧上运动
②心在AB中垂线上,圆心角为2a(a为锐角)或3600-2a(a为钝角)
例题1如图,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°
,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为()
3A.
4B.
5C.5
6D.
7
例题2如图,RtABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是ΔABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为?
例题3如图,在边长为2
的等边△ABC中,AE=CD,连接BE,AD相较于点P,则CP的最小值为
模型九:
“12345”模型
若用符号“2”表示正切值为2是锐角,其余类似,则有如下结论:
例题1如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在AB,AD上,若,且CE=3
ECF=450,则CF的长为
例题2如图在平面直角坐标系中,一次函数的图像y=2x-1分别交x、y轴于点A、B,将直线AB绕点B顺时针旋转450,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是
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