向量自回归模型讲义.docx

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向量自回归模型讲义

第8章VAR模型与协整

1980年Sims提出向量自回归模型（vectorautoregressivemodel）。

这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

向量自回归（VAR）模型定义

模型定义

VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。

假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型

y1,t=f（y1,t-1,y1,t-2,…）

y2,t=f（y2,t-1,y2,t-2,…）

则无法捕捉两个变量之间的关系。

如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。

VAR模型的结构与两个参数有关。

一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。

以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例，

y1,t=c1+π11.1y1,t-1+π12.1y2,t-1+u1t

y2,t=c2+π21.1y1,t-1+π22.1y2,t-1+u2t

）

其中u1t,u2t~IID（0,σ2）,Cov（u1t,u2t）=0。

写成矩阵形式是，

=++（8.2）

设，Yt=,c=,∏1=,ut=,

则，Yt=c+∏1Yt-1+ut（8.3）

那么，含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：

Yt=c+∏1Yt-1+∏2Yt-2+…+∏kYt-k+ut,

ut~IID（0,Ω）（8.4）

其中，

Yt=（y1,ty2,t…yN,t）'

c=（c1c2…cN）'

∏j=,j=1,2,…,k

ut=（u1tu2,t…uNt）',

Yt为N⨯1阶时间序列列向量。

C为N⨯1阶常数项列向量。

∏1,…,∏k均为N⨯N阶参数矩阵，ut~IID（0,Ω）是N⨯1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。

估计VAR的EViews4.1操作：

打开工作文件，点击Quick键,选EstimateVAR功能。

作相应选项后，即可得到VAR的表格式输出方式。

在VAR模型估计结果窗口点击View选representation功能可得到VAR的代数式输出结果。

VAR模型的特点是：

（1）不以严格的经济理论为依据。

在建模过程中只需明确两件事：

①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在VAR模型中；②确定滞后期k。

使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。

（2）VAR模型对参数不施加零约束。

（对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分析回归参数的经济意义。

）

（3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不存在（主要是参数估计量的非一致性问题）。

（4）VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。

比如一个VAR模型含有三个变量，最大滞后期k=3，则有kN2=3⨯32=27个参数需要估计。

当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。

（5）无约束VAR模型的应用之一是预测。

由于在VAR模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。

（6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。

做样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测不理想。

西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。

近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。

附录：

（file:

B8c1）

VAR模型静态预测的EViews操作：

点击Procs选MakeModel功能。

点击Solve。

在出现的对话框的Solutionoption（求解选择）中选择Staticsolution（静态解）。

VAR模型动态预测的EViews操作：

点击Procs选MakeModel功能（工作文件中如果已经有Model，则直接双击Model）。

点击Solve。

在出现的对话框的Solutionoption（求解选择）中选择Dynamicsolution（静态解）。

注意：

Model窗口中的第一行，“ASSIGN@ALLF”表示模拟结果保存在原序列名后加F的新序列中，以免原序列中的数据被覆盖掉。

静态预测的效果非常好。

动态预测的表现是前若干期预测值很接近真值，以后则只能准确预测变化的总趋势，而对动态的变化特征预测效果较差。

综上所述，用VAR做样本外动态预测1，2期则预测效果肯定是非常好的。

8.2VAR模型稳定的条件

VAR模型稳定的充分与必要条件是∏1（见（8.3）式）的所有特征值都要在单位圆以内（在以横轴为实数轴，纵轴为虚数轴的坐标体系中，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆），或特征值的模都要小于1。

1．先回顾单方程情形。

以AR

（2）过程

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+ut（8.11）

为例。

改写为

（1-φ1L-φ2L2）yt=Φ（L）yt=ut（8.12）

yt稳定的条件是Φ（L）=0的根必须在单位圆以外。

2．对于VAR模型，也用特征方程判别稳定性。

以（8.3）式，Yt=c+∏1Yt-1+ut，为例，改写为

（I-∏1L）Yt=c+ut（8.13）

保持VAR模型稳定的条件是|I-∏1L|=0的根都在单位圆以外。

|I–∏1L|=0在此称作相反的特征方程（reversecharacteristicfunction）。

（第2章称特征方程）

例8.1以二变量（N=2），k=1的VAR模型

=+（8.14）

其中∏1=为例分析稳定性。

相反的特征方程是

|I-∏1L|==

=（1-（5/8）L）2-1/8L2

=（1L）（1L）=0（8.15）

求解得

L1=1/0.978=1.022,L2

因为L1，L2都大于1，所以对应的VAR模型是稳定的。

3．VAR模型稳定的另一种判别条件是，特征方程|∏1-λI|=0的根都在单位圆以内。

特征方程|∏1-λI|=0的根就是∏1的特征值。

例仍以VAR模型（8.14）为例，特征方程表达如下：

|∏1-λI|===0

即

（5/8-λ）2–1/8=（5/8-λ）2–

=（0.978-λ）（0.271-λ）=0（8.16）

得λ1=0.9786,λ2。

λ1，λ2是特征方程|∏1-λI|=0的根，是参数矩阵∏1的特征值。

因为λ1=0.978,λ2，都小于1，该VAR模型是稳定的。

注意：

（1）因为L1=1/0.978=1/λ1,L2=1/0.27=1/λ2，所以特征方程与相反的特征方程的根互为倒数，L=1/λ。

（2）在单方程模型中，通常用相反的特征方程Φ（L）=0的根描述模型的稳定性，即单变量过程稳定的条件是（相反的）特征方程Φ（L）=0的根都要在单位圆以外；而在VAR模型中通常用特征方程|∏1-λI|=0的根描述模型的稳定性。

VAR模型稳定的条件是，特征方程|∏1-λI|=0的根都要在单位圆以内，或相反的特征方程|I–L∏1|=0的根都要在单位圆以外。

4．对于k>1的k阶VAR模型可以通过友矩阵变换（companionform），改写成1阶分块矩阵的VAR模型形式。

然后利用其特征方程的根判别稳定性。

具体变换过程如下。

给出k阶VAR模型，

Yt=c+∏1Yt-1+∏2Yt-2+…+∏kYt-k+ut

（8.17）

再配上如下等式，

Yt-1=Yt-1

Yt-2=Yt-2

…

Yt-k+1=Yt-k+1

把以上k个等式写成分块矩阵形式，

=++（8.18）

其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。

令

Yt=（Yt-1Yt-2…Yt-k+1）'NK⨯1

C=（c00…0）'NK⨯1

A=

Ut=（ut00…0）'NK⨯1

上式可写为

Yt=C+AYt-1+Ut（8.19）

注意，用友矩阵变换的矩阵（向量）用正黑体字母表示。

k阶VAR模型用友矩阵表示成了1阶分块矩阵的VAR模型。

例如，2变量2阶VAR模型的友矩阵变换形式是

=++（8.20）

其中等式的每一个元素（项）都表示一个4⨯1阶向量或4⨯4阶矩阵。

例如，2变量3阶VAR模型的友矩阵变换形式是

=++（8.21）

其中等式的每一个元素（项）都表示一个6⨯1阶向量或6⨯6阶矩阵。

VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方程|A-λI|=0的全部根必须在单位圆以内或者相反的特征方程|I-LA|=0的全部根必须在单位圆以外。

注意：

特征方程中的A是Nk⨯Nk阶的。

特征方程中的I也是Nk⨯Nk阶的。

以2阶VAR模型的友矩阵变换为例，

|I-AL|==

=|I-∏1L-∏2L2|=0（8.22）

的全部根必须在单位圆以外。

以3阶VAR模型的友矩阵变换为例，

|I-AL|=

=

=|I-∏1L-∏2L2-∏3L3|=0（8.23）

的全部根必须在单位圆以外。

因此，对于k阶VAR模型的友矩阵变换形式，特征方程是，

|I-∏1L-∏2L2-…-∏kLk|=0（8.24）

附录：

求VAR模型特征根的EViews4.1操作：

在VAR模型估计结果窗口点击View选LagStructrure,ARRootsTable功能，即可得到VAR模型的全部特征根。

若选LagStructrure,ARRootsGraph功能，即可得到单位圆曲线以及VAR模型全部特征根的位置图。

8.3VAR模型的稳定性（stability）特征

现在讨论VAR模型的稳定性特征。

稳定性是指当把一个脉动冲击施加在VAR模型中某一个方程的新息（innovation）过程上时，随着时间的推移，这个冲击会逐渐地消失。

如果是不消失，则系统是不稳定的。

下面分析一阶VAR模型

Yt=c+∏1Yt-1+ut（8.29）

为例。

当t=1时，有

Y1=c+∏1Y0+u1（8.30）

当t=2时，采用迭代方式计算，

Y2=c+∏1Y1+u2=c+∏1（c+∏1Y0+u1）+u2

=（I+∏1）c+∏12Y0+∏1u1+u2（8.31）

当t=3时，进一步迭代，

Y3=c+∏1Y2+u3

=c+∏1[（I+∏1）c+∏12Y0+∏1u1+u2]+u3

=（I+∏1+∏12）