考研数学一真题及答案文档格式.docx
- 文档编号:13375262
- 上传时间:2022-10-10
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:23.07KB
考研数学一真题及答案文档格式.docx
《考研数学一真题及答案文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《考研数学一真题及答案文档格式.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度
(4)设是由锥面与半球面围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则。
【答案】。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
(5)设均为三维列向量,记矩阵
如果,那么。
【答案】2。
【方法一】
【方法二】
由于
两列取行列式,并用行列式乘法公式,所以
综上所述,本题正确答案是2。
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质,行列式按行(列)展开定理
(6)从数中任取一个数,记为,再从中任一个数,记为,则。
先求出的概率分布,因为是等可能的取,故关于的边缘分布必有,而只从中抽取,又是等可能抽取的概率为
所以即:
XY
1
2
3
4
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
)
(7)设函数,则
(A)处处可导(B)恰有一个不可导点
(C)恰有两个不可导点(D)恰有三个不可导点
【答案】C。
由知
由的表达式和其图像可知在处不可导,在其余点均可导。
综上所述,本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(8)设是连续函数的一个原函数,表示的充分必要条件是,则必有
(A)是偶函数是奇函数
(B)是奇函数是偶函数
(C)是周期函数是周期函数
(D)是单调函数是单调函数
【答案】A。
若是偶函数,由导函数的一个基本结论“可导的偶函数其导函数为奇函数”,反之,
若为奇函数,则为偶函数,的任意一个原函数可表示为
则是偶函数,故应选A。
排除法:
取,显然连续,,且是偶函数,周期函数。
但不是奇函数,也不是周期函数,排除B和C选项。
若取,排除D,故应选A。
综上所述,本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数积分学—原函数和不定积分的概念,积分上限的函数及其导数
(9)设函数,其中函数具有二阶导数,具有一阶导数,则必有
(A)(B)
(C)(D)
【答案】B。
可见有
综上所述,本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数的偏导数和全微分
(10)设有三元方程,根据隐函数存在定理,存在点的一个邻域,在此邻域内该方程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和
(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和
(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数和
【答案】D。
则
且
由此可确定的隐函数为和
综上所述,本题正确答案是D。
【考点】高等数学—多元函数微分学—隐函数的求导法
(11)设是矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则线性无关的充分必要条件是
(C)(D)
设
即有
由于特征值不同特征向量线性无关,所以线性无关,由
可得
线性无关只有零解
因为=
那么线性无关
由于线性无关,则
线性无关
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关,向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
(12)设为阶可逆矩阵,交换的第1行与第2行得矩阵,
分别为的伴随矩阵,则
(A)交换的第一列和第二列得
(B)交换的第一行和第二行得
(C)交换的第一列和第二列得
(D)交换的第一行和第二行得
设为3阶矩阵,因为作初等行变换得到,所以有
从而
又因为,故
即交换的第一列和第二列得
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换
(13)设二维随机变量的概率分布为
0.4
0.1
已知随机事件和相互独立,则
由独立性可知
已知
所以有
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,随机变量的独立性和不相关性
(14)设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,为样本方差,则
且与相互独立,因此
【考点】概率论与数理统计—数理统计的基本概念—简单随机样本,统计量,样本均值,分布,分布,分布
三、解答题(本题共9小题,满分94分。
解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤)
(15)(本题满分11分)
设,表示不超过的最大整数。
计算二重积分
令
则
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
(16)(本题满分12分)
求幂级数的收敛区间与和函数
因为
所以当时,原级数绝对收敛,当时,原级数发散,因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为
记
又
【考点】高等数学—无穷级数—幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域,幂级数的和函数,简单幂级数的和函数的求法,初等函数的幂级数展开式
(17)(本题满分11分)
如图曲线的方程为点(3,2)是它的一个拐点,直线与分别是曲线在点与处的切线,其交点设函数具有三阶连续导数,计算定积分
由点是曲线的拐点知。
由于直线与分别是曲线在点与处的切线,由图易得,直线与的斜率分别为2和-2知,
且由图易得则
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质,不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法
(18)(本题满分12分)
已知函数在连续,在内可导,且证明:
(I)存在,使得;
(II)存在两个不同的点,使得
(I)令由题设知,在上连续,又
由连续函数的零点定理知,存在,使得
即
(II)在区间和上分别对用拉格朗日中值定理得
此时,
【考点】高等数学—一元函数微分学—微分中值定理
(19)(本题满分12分)
设函数具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上,曲线积分的值恒为同一常数
(I)证明:
对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线有;
(II)求函数的表达式。
(I)如图,将分解成:
另作一条曲线围绕原点且与相连,则
(II)设在单连通区域内具有一阶连续偏导数,由(
)知,曲线积分在该区域内与路径无关,故当时,总有
而
比较
,
式的右端得:
可得
【考点】高等数学—多元函数积分学—平面曲线积分与路径无关的条件
(20)已知二次型的秩为2
(I)求的值;
(II)求正交变换,将化为标准形;
(III)求方程的解
(I)二次型矩阵,由于二次型的秩为2,即,所以有
得
(II)当时,由
得矩阵的特征值是2,2,0。
对于,由
得特征向量
对,由
由于特征向量已经两两正交,只需单位化,于是有
令,那么经过正交变换,有,
(III)
由(
)知,在正交变换下,化为,解得,从而
即方程的解是为任意常数。
由于所以
其通解为,其中为任意常数。
【考点】线性代数—二次型—用正交变换和配方法化二次型为标准形
(21)(本题满分9分)
已知三阶矩阵的第一行是不全为零,矩阵,且,求线性方程组的通解。
由,知,又,故
当时,必有,此时由于,又因为,的列向量是的解。
故的通解为:
是任意常数;
当时,则。
此时。
若,则。
的通解为;
若
则与同解,由,设,那么的通解为,是任意常数
【考点】线性代数—线性方程组—齐次线性方程组有非零解的充分必要条件,齐次线性方程组的基础解系和通解
(22)(本题满分9分)
设二维随机变量的概率密度为
(I)求的边缘概率密度;
(II)的概率密度。
(I)
(II)当时,;
当时,
所以
【考点】概率论与数理统计—多维随机变量及其分布—二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度
(23)(本题满分9分)
设是来自总体的简单随机样本,是样本均值,记
(I)求的方差;
(II)与的协方差。
(II)
【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量函数的数学期望、协方差、相关系数及其性质
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 考研 数学 一真题 答案