同济第六版《高等数学》教案WORD版第09章重积分.docx
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同济第六版《高等数学》教案WORD版第09章重积分
第九章重积分
教学目的:
1.理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,知道二重积分的中值定理。
2.掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法。
3.掌握计算三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算方法。
8会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等)。
教学重点:
1、二重积分的计算(直角坐标、极坐标);
2、三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算。
3、二、三重积分的几何应用及物理应用。
教学难点:
1、利用极坐标计算二重积分;
2、利用球坐标计算三重积分;
3、物理应用中的引力问题。
§9,1二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1.曲顶柱体的体积
设有一立体.它的底是xOy面上的闭区域D.它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面.它的顶是曲面z=f(x.y).这里f(x.y)_0且在D上连续,这种立体叫做曲顶柱体,现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积
首先.用一组曲线网把D分成n个小区域
1.•:
:
;「2•,:
;「n.
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线.作母线平行于Z轴的柱面.这些柱面把原来的曲
顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个.'-i中任取一点(1.i).以f「i.i)为高而底为厶G的平顶柱体的体积为
f(:
宀)g(i=.2、….n),
这个平顶柱体体积之和
n
V八f(i,ip-i.
i4
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值,为求得曲顶柱体体积的精确值.将分割加密.只
需取极限.即
n
V=lim「f(i,ip-,.•r0i4
其中■是个小区域的直径中的最大值.
2,平面薄片的质量,
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D.它在点(xy)处的面密度为"x.y).这里-(x.y)0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量M
用一组曲线网把D分成n个小区域
1、厶二2、、'心n.
把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:
:
「i.i)L-i.
各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:
n
M汽1-(i,■
iT
将分割加细.取极限.得到平面薄片的质量
n
M=lim‘二:
「(i,ip-i.
Qit
其中'是个小区域的直径中的最大值.
定义设f(xy)是有界闭区域D上的有界函数•将闭区域D任意分成n个小闭区域
■'-71、匕匚2、、匕匚n.
其中厶;-_i表示第i个小区域.也表示它的面积,在每个—-i上任取一点(i.J.作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值■趋于零时.这和的极限总存在.则称此极限为函数
f(xy)在闭区域D上的二重积分.记作!
jf(x,y)d二.即
D
n
f(x,y)d;「-lim'f(i,).
d7丄
f(xy)被积函数.f(xy)d;z被积表达式.de面积元素xy积分变量D积分区域.积分和
直角坐标系中的面积元素:
如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D.那么除了包含边界点的一些
小闭区域外.其余的小闭区域都是矩形闭区域,设矩形闭区域厶门的边长为.凶和-:
yk则
.Vri--:
xi.\yi.因此在直角坐标系中.有时也把面积元素do记作dxdy.而把二重积分记作
f(x,y)dxdy
D
其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素,
二重积分的存在性:
当f(x.y)在闭区域D上连续时.积分和的极限是存在的.也就是说函数f(xy)在D上的二重积分必定存在,我们总假定函数f(xy)在闭区域D上连续.所以f(xy)在D上的二重积分都是存在的.
二重积分的几何意义:
如果f(x.y)_0.被积函数f(xy)可解释为曲顶柱体的在点(xy)处的竖坐标.所以二重积分的几何意义就是柱体的体积,如果f(x.y)是负的.柱体就在xOy面的下方.二重积分的绝对值仍等于柱体的体积.但二重积分的值是负的.
二.二重积分的性质
性质1设Ci、C2为常数.则
[Cif(x,y)C2g(x,y)]d;:
「二Ci!
」f(x,y)d二c^g(x,y)d^.
DDD
性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域.则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和,例如D分为两个闭区域Di与D2.则
Mf(x,y)d;「=f(x,y)d■亠iif(x,y)d二.
DD1D2
性质3!
!
1-厂(二为D的面积).
DD
性质4如果在D上f(xy)_g(xy).则有不等式
..f(x,y)dt..g(x,y)d—
DD
特殊地有
丨f(x,y)dy|f(x,y)d二.
DD
性质5设M、m分别是f(xy)在闭区域D上的最大值和最小值.二为D的面积.则有m;:
「_f(x,y)d;:
「_Mc.
D
性质6(二重积分的中值定理)设函数f(xy)在闭区域D上连续.二为D的面积.则在D上至少存在一点C.)使得
f(x,y)d;丁=f(,)c.
D
§9,2二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
X--型区域
D:
S(x)_y_2(x).a_xJD,
Y—型区域
D:
:
'Tl(x)写_2(x).
混合型区域:
设f(x.y)_O.D-{(xy)|i(x)_y_2(x).a_x_b},
此时二重积分..f(x,y)d;「在几何上表示以曲面z-f(x.y)为顶.以区域D为底的曲顶
D
柱体的体积,
对于xo•[a.b].曲顶柱体在x^xo的截面面积为以区间[r(xo).,2(xo)]为底、以曲线zh(X0y)为曲边的曲边梯形.所以这截面的面积为
2%)
A(x)=£(x°)f(x,y)dy、
根据平行截面面积为已知的立体体积的方法.得曲顶柱体体积为
bb:
2(x)
f(x,y)dy]dx.
V=aA(x)dx=a[f(xy)dy]dx.
可记为
b鶴(刈
JJf(x,y)db=adx£(x)f(x,y)dy,D1
类似地.如果区域D为丫一一型区域
D:
:
?
i(x)£y_2(x)c£y£d.
则有
d屯(y)
f(x,y)d;:
,cdy,.(y)f(x,y)dx.
D1
例1,计算nxydc.其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域
D
解:
画出区域D
方法一,可把D看成是X-申区域:
1以空.1兰yg,于是
2x2v2x1231x4x229
Hxyck,〔[〔xydyjdx=〔[x牙]心二㊁1(x3-x)dx弓匸㊁】2飞'
D
2x2x
注:
积分还可以写成JJxydb=1dx[xydy=fxdx1ydy,
D
解法2,也可把D看成是丫-申区域:
1勻空.y冬空,于是
222x22
JJxyg=f[(xydxidy=』[y”2】ydy=J(2y
D2
例2•计算..y、,1,x2-y2d匚.其中D是由直线ym、x*1及y次所围成的闭区域
D
y.1x^y2^jlxx^.1
D
x2-y2dy迅:
[(1x2
311
-y2)2][dx=-3y(|x|3-1)dx
解画出区域D.可把D看成是X—型区域:
-1冬_1.x匀一1,于是
也可D看成是丫一型区域:
-1_y_11一x JJy』+x2—y2dbpydy』J"x2—y2dx, D-- 例3计算..xyd二.其中D是由直线y=x_2及抛物线y2承所围成的闭区域 D 解积分区域可以表示为D=D计D2. 其中D〔: 0乞x叮,-、xmy_D2: 1_x_4,2_y八x.于是 1仮4jx xyd—0dx_xxydy〔dxx D 积分区域也可以表示为D: 一1_y/.y^i^ 2y也2v2yA2cu 32 y2y =58 2 xyd—」dyy2xydx「丿刁畤dy^[y(y2)^y5]dyD- 讨论积分次序的选择 例4求两个底圆半径都等于「的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解设这两个圆柱面的方程分别为 x^y^P2及x24z2=0, 利用立体关于坐标平面的对称性.只要算出它在第一卦限部分的体积Vi.然后再乘以8就 行了 第一卦限部分是以D二{(x.y)|0_y_...R2-x2,0空x汩为底.以z=R2-x2顶的曲顶柱体 于是 —82圧7血旳仏严戸碍屁厂8佃圧7刃0兀尬D =80(R2-x2)d^16R3, .利用极坐标计算二重积分 有些二重积分.积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便.且被积函数用 极坐标变量? 、二表达比较简单,这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 f(x,y)d二. D n 按二重积分的定义11f(x,y)d;「-lim'f([,J.y, D 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式 D分为n 以从极点0出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域个小闭区域.小闭区域的面积为: =2(「廿)2甘-2『*1(2—fiF 其中兀表示相邻两圆弧的半径的平均值 在厶;: i内取点(片,耳).设其直角坐标为(1.i). 则有j-斤cos弓.j-几sin可. nn 于是lim'f(],订=lim'fC*cos刁,耳sin刁)耳『]: 刁. -10i_1/.-10i_1 即iif(x,y)d==fC? coS/? sin);? d? d^. DD 若积分区域D可表示为 ®i(勺兰pmp2(q.a 加爲a、._、.… 则iif(,cos^,-sin^)d-^^fCcos^/sinR— D'1" 讨论如何确定积分限? I-'..匚⑺、「.… JJf(PcosQPsin。 )Pd田&=(迪0f(Pco旳,Psin&)PdP“ D 2下年日) JJf(Deos日,in日)PdPd日=0d。 0f(^co出,in日)Pd。 D 22 例5•计算..e岐刁dxdy.其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区 域, 解在极坐标系中.闭区域D可表示为 0即仝.0兰日空兀, 于是”e42dxdy="e—"PdR8=讥[e"PdP]dT=讥―孝一戸刚日DD2 1a22二.a2 =1(^~e)0小二(1&), 2222 注: 此处积分e^tdxdy也常写成..e"今dxdy. Dx^fiy2-^a2 2222 利用tdxdy=^(1—)计算广义积分Joe*dx: x2y2la2 222 设Di={(xy)|xy 222 D2={(x.y)|xy<2Rx_0.y_0}. S-{(x.y)|0致唄.0马仝}. 亠2..2 显然DiSD2.由于e^_y0.从
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