江苏专版高考数学二轮复习 专题六 应用题教学案Word文件下载.docx

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（2）设A1B1＝am，PO1＝hm，

则0＜h＜6，O1O＝4h.连结O1B1.

因为在Rt△PO1B1中，

O1B

＋PO

＝PB

，

所以

2＋h2＝36，

即a2＝2（36－h2）．

于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·

4h＋

a2·

h＝

a2h＝

（36h－h3），0＜h＜6，

从而V′＝

（36－3h2）＝26（12－h2）．

令V′＝0，得h＝2

或h＝－2

（舍去）．

当0＜h＜2

时，V′＞0，V是单调增函数；

当2

＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数．

故当h＝2

时，V取得极大值，也是最大值．

因此，当PO1＝2

m时，仓库的容积最大．

[方法归纳]

解函数应用题的四步骤

[变式训练]

1．（2017·

苏锡常镇二模）某科研小组研究发现：

一棵水蜜桃树的产量w（单位：

百千克）与肥料费用x（单位：

百元）满足如下关系：

w＝4－

，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L（x）（单位：

百元）．

（1）求利润函数L（x）的函数关系式，并写出定义域；

（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？

最大利润是多少？

解：

（1）L（x）＝16

－x－2x＝64－

－3x（0≤x≤5）．

（2）法一：

L（x）＝64－

－3x＝67－

≤67－2

＝43.

当且仅当

＝3（x＋1）时，即x＝3时取等号．

故L（x）max＝43.

答：

当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是4300元.

法二：

L′（x）＝

－3，由L′（x）＝0，得x＝3.

故当x∈（0,3）时，L′（x）>

0，L（x）在（0,3）上单调递增；

当x∈（3,5）时，L′（x）<

0，L（x）在（3,5）上单调递减．

所以当x＝3时，L（x）取得极大值，也是最大值，

故L（x）max＝L（3）＝43.

当投入的肥料费用为300元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是4300元．

2．（2017·

南通三模）如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C－D－E－F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形．设DE＝t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f（t）万元，经测算f（t）＝

（1）用t表示线段EF的长；

（2）求修建该参观线路的最低费用．

（1）法一：

设DE与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知OQ⊥l，DQ＝QE，以OF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.

由题意得，点E的坐标为

，

设直线EF的方程为y－1＝k

（k<

0），

即kx－y＋1－

tk＝0.

因为直线EF与半圆相切，

所以圆心O到直线EF的距离为

＝1，

解得k＝

.

代入y－1＝k

可得，点F的坐标为

.

所以EF＝

＝

＋

即EF＝

（0<

t<

2）．

设EF切圆O于点G，连结OG，

过点E作EH⊥AB，垂足为H.

因为EH＝OG，∠OFG＝∠EFH，∠GOF＝∠HEF，

所以Rt△EHF≌Rt△OGF，所以HF＝FG＝EF－

t.

由EF2＝1＋HF2＝1＋

2,

EF的长为

百米．

（2）设修建该参观线路的费用为y万元．

①当0<

t≤

时，y＝5

＝5

由y′＝5

<

0，得y在

上单调递减．

所以当t＝

时，y取最小值为32.5.

②当

2时，y＝

＝12t＋

－

所以y′＝12－

因为

2，所以3t2＋3t－1>

0，

所以当t∈

时，y′<

0；

当t∈（1,2）时，y′>

所以y在

上单调递减；

在（1,2）上单调递增．

所以当t＝1时，y取最小值为24.5.

由①②知，y取最小值为24.5.

修建该参观线路的最低费用为24.5万元.

基本不等式的实际应用

[例2]　（2017·

南京考前模拟）某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q＝

（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完．若每件销售价定为：

“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的25%”之和.

（1）试将年利润W（万元）表示为年广告费x（万元）的函数；

（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

最大利润为多少？

[解]　

（1）由题意可得，产品的生产成本为（32Q＋4.5）万元，

每件销售价为

150%＋

25%.

∴年销售收入为

Q＝

x.

∴年利润W＝

x－

－x＝

x＝16Q＋

x＝16·

x（x≥0）．

（2）令x＋1＝t（t≥1），则W＝16·

（t－1）＝64－

＋3－

t＝67－3

∵t≥1，∴

≥2

＝4，即W≤55，

，即t＝8时，W有最大值55，此时x＝7.

即当年广告费为7万元时，企业年利润最大，最大值为55万元．

利用基本不等式求解实际应用题的注意点

（1）此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

（2）当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围对应函数的单调性求解．

（2017·

苏州期末）某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，

其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y＝

（x∈[－2，2]），曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：

保持两曲线在各衔接处（B，D）的切线的斜率相等．

（1）求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；

（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：

M＝（该点P与桥顶间的水平距离）×

（设计图纸上该点P处的切线的斜率）其中MP的单位：

米．若该景区可提供三种类型的观光车：

①游客踏乘；

②蓄电池动力；

③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？

（1）由题意A为抛物线的顶点，设A（a,0）（a＜－2），则可设方程为y＝λ（x－a）2（a≤x≤－2，λ＞0），y′＝2λ（x－a）．

∵曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y＝

（x∈[－2,2]），

∴y′＝

，且B（－2,1），

则曲线在B处的切线斜率为

∴

∴a＝－6，λ＝

∴曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为y＝

（x＋6）2（－6≤x≤－2）．

（2）设P为曲线段AC上任意一点．

①P在曲线段AB上时，则通过该点所需要的爬坡能力（MP）1＝（－x）·

（x＋6）＝－

[（x＋3）2－9]，

在[－6，－3]上为增函数，[－3，－2]上是减函数，所以爬坡能力最大为

米；

②P在曲线段BC上时，则通过该点所需要的爬坡能力（MP）2＝（－x）·

（x∈[－2,0]），

设t＝x2，t∈[0,4]，（MP）2＝y＝

当t＝0时，y＝0；

当0＜t≤4时，y＝

≤1（t＝4取等号），此时最大为1米．

由上可得，最大爬坡能力为

米．

∵0.8＜

＜1.5＜2，

∴游客踏乘不能顺利通过该桥，蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥.

三角函数的实际应用

[例3]　（2017·

江苏高考）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10

cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．

[解]　

（1）由正棱柱的定义知，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC.

如图，记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处．

因为AC＝10

，AM＝40，

所以MC＝

＝30，从而sin∠MAC＝

记AM与水面的交点为P1，过P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1＝12，

从而AP1＝

＝16.

玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.

（如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm）

（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心．

由正棱台的定义知，

OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.

同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.

记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．

过G作GK⊥E1G1，K为垂足，

则GK＝OO1＝32.

因为EG＝14，E1G1＝62，

所以KG1＝

＝24，

从而GG1＝

＝40.

设∠EGG1＝α，∠ENG＝β，

则sinα＝sin

＝cos∠KGG1＝

α<

π，所以c