数学分析定义定理推理一览表复习课程.docx
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数学分析定义定理推理一览表复习课程
数学分析定义、定
理、推理一览表
定义1给定两个非负实数
xa0.a1.a2LanL,yb0.b1.b2LbnL
其中ao,bo为非负整数,ak,bkk1,2,L为整数,若有
0ak9,0bk9.
则称x与y相等,记为xy.
若a0b0或存在非负实数l,使得
akbkk0,1,2丄l而aib1,
则称x大于y或y小于x,分别记为xy或yx.
定义2
设xa0.a1a2LanL为非负实数.称有理数
a。
.qa?
La
为实数x的n位不足近似,而有理数
称为x的n位过剩近似,
n0,1,2,L.
xnxn
实数的一些主要性质
1.实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数.
2.实数集是有序的,即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一:
ab,ab,ab.
3实数的大小关系具有传递性,即若ab,bc,则有ac.
4.实数具有阿基米德性,即对任何abR,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b.
5实数R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数也有无理数.
6.如果一直线(通常画成水平直线)上确定一点o作为原点,指定一个方向为正方向(通常把指向右边的方向为正方向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是,实数集R与数轴上的点有着对应关系.
定义3
实数a的绝对值定义为a
从数轴上看,数a的绝对值
a,a0,
a,a0.
a就是a到原点的距离
绝对值得一些性质
1.aa0;当且仅当a=0时有a0.
2.aaa.
3.ahhah;ahhah(h0).
4.对于任何a、bR有如下三角形不等式:
ababab.
5.aba||b.
a|a|
&冷0)
定义4
区间和邻域
开区间:
a,bxaxb,
有限区间闭区间:
a,bx|axb,
半开半闭区间:
a,bxaxb,区间(,a]x|xa,,a,bR.
工(a,)xxa,
无限区间
(,a)x|xa,
(,)xxR,
邻域:
aR,0.满足xa的全体实数x的集合称为
点a的邻域,记作Ua;,或U(a),即有
U(a;){x||xa|}(a,a).
点a的空心邻域:
U°(a;){x|0|xa|}.
点a的右邻域:
U(a;)[a,a);
点a的左邻域:
U(a;)(a,a];
点a的空心右邻域:
U0(a;)(a,a);
点a的空心左邻域:
U0(a;)(a,a);
邻域U(){X||x|M},其中M为充分大正数;邻域U(){X|xM},其中M为充分大正数;邻域U(){X|xM},其中M为充分大正数;
定义5有界的定义
设S为R中的一个数集•若存在M(L),使得对一切xS,都有xM(xL),则称S为有上界(下界)的数集,数M(L)称为S的一个上界(下界)■
简记:
SR,M0,xSxM,称S有界■
若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集■若S不是有界集,则称为无界集.
定义6确界的定义
1设SR.若数满足:
ixS,有x,即是S的上界;
ii,xoS,使得xo,即又是S的最小上界,
则称为数集S的上确界,记作
=supS.
2.设SR.若数满足:
ixS,有x,即是S的下界;
ii,x0S,使得x0,即又是S的最大下界,
则称为数集S的下确界,记作
=infS
定理1
设数集S有上确界•
i)=supSS=maxS.
ii)=infSSminS.
定理一确界原理
设S为非空数集.若S有上界,则必有上确界;
若S有下界,则S必有下确界.
定理2
设AB为非空数集,满足:
对一切xA和yB有xy.
数集A有上确界,数集B有下确界,且supAinfB.
推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的)
函数的概念定义1给定两个实数集D和M,若有对应法则f,使对D内每一个X,都有唯一的一个数yM与它相对应,则称f是定义在数集D上的函数,记作f:
DM,
xay.
数集D称为函数f的定义域,x所对应的数y,称为f在点X的函数值,常记为f(x).全体函数值的集合f(D)y|yf(x),xD(M)称为函数f的值域.
函数的四则运算
给定两个函数f,x^和g,xD2,记D=D11D2,并设D.
定义f与g在D上的和、差、积运算如下:
F(x)f(x)g(x),xD,
G(x)f(x)g(x),xD,
H(x)f(x)g(x),xD.
若在D中剔除g(x)0的x值,即令
D*DiIx|g(x)0,xD2,
则除法如下
L(x)f(x)/g(x),xD*.
初等函数
常量函数yc(c为常数);幕函数yx(为实数);
指数函数yax(a0,a1);
对数函数ylogax(a0,a1);
三角函数ysinx,ycosx,ytanx,ycotx;反三角函数
yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.
定义2
给定实数a0,a1设x为我们规定
sup{ar|r为有理数},当a1时,
axrx
inf{ar|r为有理数},当0a1时.
rx
1
ai
1
n
an
a1
n
ai,当
i1n
a1
a2Lan时,“=”成立.
几个重要的等式(不等式)
6.调和平均数
i1ai
数列极限
定义1
设an为数列,a为定数•若对任给的正数,总存在正整数N,使得当nN时有aa,则称数列an收敛于a,定数a称为数列an的极限,并记作limana,或ana(n).
n
若数列an没有极限,则称an不收敛,或称an为发散数列
定义1'任给0,若在Ua;之外数列an中的项至多只有有限个,
则称数列an收敛于极限a.
定义2若liman0,则称an为无穷小数列.
n
定理2.1数列an收敛于a的充要条件是:
ana为无穷小数列.
收敛数列的性质
定理2.8(四则运算)
limanbn
n
lim
n
limanc
n
lima
nbn
liman
n
limann—-,bnlimbn
n
liman
n
liman
n
c,lim
n
limbn,
n
limbn,
n
cancliman,
n
0及limbn0.
n
定义1设a-为数列,nk为正整数集N+的无限子集,且
nin2LnkL,
则数列a-i,a-2,L,a-k,L称为数列a-的一个子列,简记为a-k.
平凡子列:
数列a-本身以及去掉有限项后得到的子列.
非平凡子列:
不是平凡子列的子列.
数列a-与它的任一平凡子列同为收敛或发散,且在收敛时有相同的极限
定理2.9数列a-收敛的充要条件是:
a-的任何非平凡子列都收敛.
定理二(单调有界定理)在实数系中,有界的单调数列必有极限
定理三(柯西Cauch收敛准则)数列环收敛的充要条件是:
对任给的0存在正整数N,使得当i,mN时有耳為|.函数极限
定义
1设f为定义在a,上的函数,A为定数若对人给的0,
存在正数Ml(a),使得当xM时有fxA,则称函数
f当x趋于时以A为极限,记作limfxA或fxAx.
x
2设函数f在点怡的某个空心邻域U。
心’内有定义,A为定数若对任给的0,存在正数(<'),使得当0xxo时有fxA,则称函数f当x趋于x3时以A为极限,记作
limfxA或fxAx怡.
xx0
3设函数f在U。
xd;'或U。
x^;'内有定义,A为定数.若对任给的0,存在正数(v'),使得当xx0
或冷xxd时有fxA,则称数A为函数f当x趋于
xd或xd的右(左)极限,记作limfxAlimfxA
xxdX冷
或fxAxx0fxAxx0.
右极限与左极限统称为单侧极限
f在点乞的右(左)极限记为x00limfxfx00limfx.
xxoX冷
定理3.1limfxAlimfxlimfxA
Xxoxxdxx0
函数极限的性质
设limfx=limgx=A,且在某Ux0;
定理3.6(迫敛性)
XXoxXo
内有fxhxgx,则limhxA.
XX
则limf
XXo
定理3.2(唯一性)若极限limf
xX0
定理3.3(局部有界性)
若lim
XXo邻域U
若limf
XX
定理3.4(局部保号性)
r
Aorr
切xU。
设limf
XXo
定理3.5(报不等式性)邻域U。
X存在,则此极限是唯一的.
fX存在,则f在Xo的某空心
。
Xo内有界.
x=A0or0,则对任何正数
A,存在U。
x0,使得对一x0有fxr0orfxr0.
x与limgx都存在,且在某
XX
X0;'内有fXgX,xlimgx.
xXd
定理3.8(四则运算)
1)limf
Xxo
2)limf
XXd
xgxlimfxlimgx;
xXoxXo
xgxlimfxlimgx;
XXdxxo
3)lim—x人g
xlimfx
xXo
limgx0.
xlimgxxxoXXoJ
无穷小量阶的比较(定义见下页末)
fx
1.若lim0,则称当xxo时f为g的高阶无穷小量
X冷gX记作fxogxxx0.
fx
2.若存在正数K和L,使得在某Uox,上有KL,
gx
则称f与g为当x时的同阶无穷小量.特别的当
fx
limc0时,f与g必为同阶无穷小量.
xxogx
fx
3若lim=1,则称f与g为当xxo时的等价无穷小量.
xxogx
记作fx~gxxx0.
函数极限存在的条件
定理3.8(归结原则or海涅定理)
设f在U0x0;'内有定义.limfx存在的充要条件是:
对任何含
xx
于U0x0;'且以x0为极限的数列xn,极限limfxn都存在且相等.
x
简述:
limfx=A对任何xnx0(n)有limfxnA
xx0XX。
设函数f在点x0的某空心右邻域U0x0有定义.limfx=用勺
xx
定理3.9充要条件是:
对任何以x0为极限的递减数列xnU0xd,
有lim
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