高一上学期数学知识点总结必修14Word下载.docx
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)
7、空集:
不含任何元素的集合叫空集,记为
。
注意,空集是任何集合的子集
8、子集的性质:
①任何一个集合都是它自身的子集②若
9、真子集:
若集合
,且
,那么集合A是集合B的真子集,记为A
B。
注意空集是任何非空集合的真子集
10、元素与集合的关系有“属于”与“不属于”这两种,用符号
表示
11、集合与集合的关系有“包含”、“不包含”这两种,用符号
表示;
其中“包含”有“真包含”和“相等”两种,用符号
、=
13、并集:
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的并集,用符号表示
14、交集:
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,用符号表示
2、函数概念
一、映射
(一)映射:
设
是两个非空集合,如果按照某种对应法则
对
中的任意一个元素
,在
中有一个且仅有一个元素
与
对应,则称
是集合
到集合
的映射.记为:
,
这时称
是
在映射
的作用下的象,记作
,于是
.
称作
的原象.
集合
叫做映射
的定义域(函数定义域的推广),所有象
构成的集合叫做映射
的值域,记作
注:
1.一对一、多对一是映射,一对多不是映射
2.集合
中的元素一定有象,集合
中的元素不一定有原象.
(二)一一映射:
如果
到
的一个映射,并且对于集合
中的任意一个元素,在集合
中有且只有一个原象.
(三)映射是函数概念的推广,函数是一种特殊的映射.函数是数集到数集的映射.
二、分段函数:
在函数的定义域内,对于自变量
的不同取值区间,有着不同的对应法则.
注:
①分段函数是一个函数
②分段函数的定义域是自变量
的取值区间的并集,值域是各个区间对应的值域的并集.
③解决分段函数的重要策略就是分类讨论.
三、函数的单调性
1.增函数:
一般地,设函数
的定义域为
,区间
.如果取区间
中的任意两个
,若
,则称函数
在区间
上是增函数.
2.减函数:
上是减函数.
3.对勾函数
上为增函数,在区间
上为减函数;
一般地,对勾函数
4.对于复合函数
,其中
称为外函数,
称为内函数.
当内外函数单调性相同时,
为增函数;
当内外函数单调性相反时,
为减函数.
5.设,那么
当,则在上是
增函数;
当,则在上是减函数
1.奇函数与偶函数的定义:
设y=f(x),x∈A,如果对于任意
∈A,都有
,则称y=f(x)为偶函数。
,则称y=f(x)为奇函数。
如果函数
是奇函数或偶函数,则称函数y=
具有奇偶性。
2.性质:
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称,
②y=f(x)是偶函数
y=f(x)的图象关于
轴对称,
y=f(x)是奇函数
y=f(x)的图象关于原点对称,
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同,
3.函数对称的性质(课本以外)
(1)针对一个函数的对称性
若
,则函数
的图象关于直线
对称
(2)针对两个函数的对称性
函数
与函数
4.函数周期性
的周期
1、指数函数定义
一般地,函数
叫做指数函数.
2、指数函数图象与性质
图象
定义域
值域
性质
(1)过定点
,即
时,
(2)在
上是减函数
上是增函数
(3)
(4)对于同一个
的图象关于
轴对称
(5)
接近于
越靠近
轴
越大,
3、有关指数运算公式
①
②
③
④
我们规定
①正分数指数幂可以定义为
(
且
为既约分数)
②负整数指数幂可以定义为
一、对数的概念
1.对数的概念:
),那么b叫做以a为底N的对数,记作
).
2.对数恒等式:
.
3.常用对数:
以
为底的对数叫做常用对数.为了简便,通常把底10略去不写,并把
写成
,即把
记做
4.自然对数:
在科学技术中,常常使用以无理数
为底的对数.以
为底的对数叫做自然对数.
通常记作
二、对数的运算
三、对数函数的概念:
一般地,我们把函数
)叫做对数函数.
(1)函数图象过定点
,即当
(3)当
当
(4)
关于
轴对称。
越接近于
,图象越靠近
越大,图象越靠近
四、指数函数与对数函数的关系
1.反函数的概念:
当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的
函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为
反函数.函数
的反函数通常用
表示.
2.指数函数
与对数函数
互为反函数,其图象关于
对称.
一、幂函数的定义
一般地,形如
的函数称为幂函数,其中
是常数.
二、幂函数的图象
的图象
奇偶性
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
单调性
单调递增
在
上减
上增
和
上单调递减
公共点
图象所在象限
一、三
一、二
一
三、幂函数的性质
(1)所有的幂函数在
都有定义,并且图象都通过点
(2)
时,幂函数的图象通过原点,并且在
上是增函数;
时,①幂函数在
上是减函数;
②在第一象限内,图象向上与
轴无限地接近,向右与
轴无限地接近.
(4)任何幂函数图象都不经过第四象限;
(5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点.
(6)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点;
(7)作幂函数的图象时:
将第一象限的图象作出,如下图所示,遵循8字诀窍“正抛负双,大竖小横”
再根据幂函数的奇偶性,将第二或者第三象限的图象作出
一、函数的零点
1.函数零点的概念
一般地,如果函数
在实数
处的值等于零,即
,则实数
叫做这个函数的零点.
2.函数零点的意义
的零点就是方程
实数根,亦即函数
的图象与
轴交点的横坐标.
即方程
有实数根
轴有交点
有零点.
3.零点存在判定定理
上的图象是连续不断的一条曲线,且
在区间
内至少有一个零点,即存在
,使得
,这个
就是方程
的根.
二、二分法
1.二分法:
求函数零点的近似值的一种方法.
2.二分法求函数零点的一般步骤:
已知函数
定义在区间
上,求它在
上的一个零点
的近似值
,使它满足给定的精确度.
第一步在
内取一个闭区间
,使
异号,即
零点位于区间
中.
第二步取区间
的中点,则此中点对应的坐标为
计算
,并判断:
(1)如果
,则
就是
的零点,计算终止;
(2)如果
,则零点位于区间
中,
令
(3)如果
继续实施上述步骤,直到区间
,函数的零点总位于区间
上,当
按照给定的精确度所取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函数
的近似零点,计算终止.
2、角
的顶点与原点重合,角的始边与
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
为第几象限角.了解象限角和轴线角的表示方法。
3、与角
终边相同的角的集合为
4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
弧度.
5、半径为
的圆的圆心角
所对弧的长为
,则角
的弧度数的绝对值是
6、弧度制与角度制的换算公式:
7、若扇形的圆心角为
,半径为
,弧长为
,周长为
,面积为
8、设
是一个任意大小的角,
的终边上任意一点
的坐标是
,它与原点的距离是
9、三角函数线:
10、同角三角函数的基本关系:
11、函数的诱导公式:
口诀:
奇变偶不变,符号看象限.
二、由
的图象变换到
的图象的方法
方法①:
将
的图象上所有点向左(右)平移
个单位长度,得到函数
的图象;
再将函数
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
倍(横坐标不变),得到函数
的图象.
方法②:
(一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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